Question

Помогите решить интеграл!!! ln(x+(1+x^2)^0,5)dx

Answer 1

Решение в приложении:

Answer 2

Для решения данного интеграла воспользуемся методом интегрирования по частям. Обозначим

u = ln(x + (1 + x^2)^0.5) dv = dx du/dx = 1 / (x + (1 + x^2)^0.5) dx v = x

Тогда

∫ ln(x + (1 + x^2)^0.5) dx = uv - ∫ v du/dx dx = x ln(x + (1 + x^2)^0.5) - ∫ x dx / (x + (1 + x^2)^0.5) dx

Чтобы вычислить второй интеграл, сделаем замену переменной: t = 1 + x^2. Тогда dt/dx = 2x, и dx = dt / (2x). Подставляя это в выражение для второго интеграла, получим:

∫ x dx / (x + (1 + x^2)^0.5) = ∫ dt / (2(t-1)(t)^0.5)

Далее, проводим интегрирование методом подстановки: z = (t-1)^0.5, тогда t = z^2 + 1, и dt = 2z dz. Получим:

∫ dt / (2(t-1)(t)^0.5) = ∫ dz / z^2 = -1/z = -1/((1 + x^2)^0.5 - 1)

Таким образом, окончательный ответ:

∫ ln(x + (1 + x^2)^0.5) dx = x ln(x + (1 + x^2)^0.5) + 1/((1 + x^2)^0.5 - 1) + C,

где C - произвольная постоянная интегрирования.