Question

Екстремуми функції : y=x^4-8x^2+16

Answer 1

Чтобы найти точки экстремума функции надо найти производную функции и приравнять её нулю.

1) y = x^3 + x^2 + 16.
    y ' = 3x² + 2x.
    3x² + 2x = 0.
    x(3x + 2) = 0.
Отсюда получаем 2 точки экстремума:
х = 0.
х = -2/3.

2) y = x^4 - 8x^2.
    y ' = 4x³ - 16x.
    4x³ - 16x = 0.
    4x(x² - 4) = 0.
    4x(x + 2)(x - 2) = 0.
    
Отсюда получаем 3 точки экстремума:
х = 0.
х = -2.
x = 2.

Answer 2

Щоб знайти екстремуми функції $y = x^4 - 8x^2 + 16$, спочатку знайдемо похідну функції і прирівняємо її до нуля, щоб знайти критичні точки. Після цього будемо аналізувати знак похідної навколо цих точок, щоб визначити, чи є вони мінімумами чи максимумами.

1. Знайдемо похідну функції $y$ відносно $x$: $y' = 4x^3 - 16x$.

2. Прирівняємо $y'$ до нуля та розв'яжемо рівняння: $4x^3 - 16x = 0$.

   Факторизуємо рівняння: $4x(x^2 - 4) = 0$.

   З цього рівняння ми отримуємо три значення $x$: $x = 0$, $x = -2$, $x = 2$.

3. Тепер аналізуємо знак похідної $y'$ навколо кожної критичної точки, щоб визначити екстремуми.

   a) При $x = -2$: Підставимо $x = -2$ в $y'$: $y'(-2) = 4(-2)^3 - 16(-2) = -16 + 32 = 16$. Оскільки $y'(-2) > 0$, то функція $y$ має мінімум у точці $x = -2$.

   b) При $x = 0$: Підставимо $x = 0$ в $y'$: $y'(0) = 4(0)^3 - 16(0) = 0$. Оскільки $y'(0) = 0$, немає визначеного знаку, тому проведемо додатковий аналіз.

   Знайдемо другу похідну $y''$ функції $y$: $y'' = (y')' = (4x^3 - 16x)' = 12x^2 - 16$.

   Підставимо $x = 0$ в $y''$: $y''(0) = 12(0)^2 - 16 = -16$. Оскільки $y''(0) < 0$, то точка $x = 0$ є максимумом функції $y$.

   c) При