Question

Число сотен трехзначного числа в 2 раза меньше числа десятков и в 3 раза меньше числа единиц. Доказать, что сумма этого числа и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, делиться на 4

Answer 1

Рассмотрим трехзначное число
 324=300+20+5=3·100+2·10+5,
в этом числе  3 сотни, 2 десятка и 5 единиц.

Если в числе содержится a сотен, b десятков и c единиц, то это число (100а +10b+c).
Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке содержит с сотен, b десятков и а единиц.
(100с+10b+a).
Сумма  этих чисел:
(100а +10b+c) + (100с+10b+a)=101a+20b+101c
 По условию
b=2a
c=3a
Значит
101а +20b+101c= 101а +20·2a+101·3a=101a+40a+303a=444a.
444 делится на 4, значит и произведение 444а делится на 4, значит сумма  (100а +10b+c) + (100с+10b+a)  делится на 4.

Answer 2

Предположим, что трехзначное число имеет вид XYZ, где X - число сотен, Y - число десятков и Z - число единиц.

Условие гласит, что число сотен в 2 раза меньше числа десятков и в 3 раза меньше числа единиц. Математически это можно записать следующим образом:

X = (1/2)Y X = (1/3)Z

Также нам известно, что мы должны доказать, что сумма числа XYZ и числа ZYX (число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке) делится на 4.

Чтобы доказать это, давайте найдем сумму этих чисел:

XYZ + ZYX = 100X + 10Y + Z + 100Z + 10Y + X = 101X + 20Y + 101Z

Теперь заменим X, Y и Z согласно нашим предположениям:

101(1/2)Y + 20Y + 101(1/3)Z = (101/2)Y + 20Y + (101/3)Z

Общий знаменатель для 2, 20 и 3 равен 60, поэтому:

= (101/2)Y + (20/1)Y + (101/3)Z = (303/6)Y + (120/6)Y + (202/6)Z = (423/6)Y + (202/6)Z

Мы видим, что числитель этой суммы является суммой двух целых чисел, поэтому числитель делится на 6.

Теперь рассмотрим знаменатель 6. Заметим, что 6 = 2 * 3, то есть он содержит оба множителя из условия, которые связаны с числами сотен, десятков и единиц. Это означает, что числитель делится на 2 и на 3.

Таким образом, мы можем заключить, что сумма чисел XYZ и ZYX делится на 6 и на 2, следовательно, она также делится на 2 * 3 = 6.

Кроме того, 6 также делится на 4 (6 = 4 * 1.5), поэтому сумма чисел XYZ и ZYX также делится на 4.

Таким образом, мы доказали, что сумма этого числа и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, делится на 4.