Question

Постройте график функции f(x)=x^2-4x+3. Используя график найдите: 1)область значений функции 2)промежуток убывания функции 3)множество решений неравенства f(x)>0

Answer 1

Ответ:

График функции f(x)=x²-4·x+3 - это парабола. Для построения графика параболы достаточно 3 точки, одна из которых вершина параболы (красная точка).

Абсциссу вершины параболы y=a·x²+b·x+c определяем по формуле:

$\tt \displaystyle x_{0}=-\frac{b}{2 \cdot a}.$

Так как a = 1 и b = -4, то

$\tt \displaystyle x_{0}=-\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2.$

Тогда ордината вершины параболы:

f(2) = 2²-4·2+3 = 4-8+3= -1.

Определяем точки пересечения графика с осью Ох (чёрные точки):

f(x)=0 ⇔ x²-4·x+3=0 ⇔ (x-1)·(x-3)=0 ⇔ x₁ = 1, x₂ = 3.

Определяем точку пересечения графика с осью Оу (зелёная точка):

f(0) = 0²-4·0+3 = 3.

График функции в приложенном рисунке.

По графику определяем:

1) Область значений функции:

E(f)=[ -1; +∞);

2) Промежуток убывания функции:

(-∞; 2);

3) Множество решений неравенства f(x)>0:

(-∞; 1) ∪ (3; +∞).

Answer 2

Давайте начнем с построения графика функции f(x) = x^2 - 4x + 3:

Чтобы построить график, нам нужно определить вершину параболы и направление ее открытия. Для этого воспользуемся формулой для нахождения вершины параболы: x = -b / (2a), где a и b - коэффициенты перед x^2 и x соответственно.

В нашем случае a = 1, b = -4, поэтому x = -(-4) / (2 * 1) = 4 / 2 = 2. Затем найдем значение функции в этой точке: f(2) = 2^2 - 4 * 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1. Таким образом, вершина параболы находится в точке (2, -1).

Теперь мы можем построить график, используя вершину параболы и информацию о ее открытии. График будет иметь форму узкой параболы, открытой вверх, так как коэффициент a положительный.

Вот график функции f(x) = x^2 - 4x + 3:

markdownCopy code
     |
   5 |          .
     |        .
     |
    0|_____________________
     -2       2        4

Теперь давайте рассмотрим заданные вопросы:

1. Область значений функции: Исходя из графика, мы видим, что значения функции f(x) могут быть любыми неотрицательными числами. Таким образом, область значений функции f(x) = x^2 - 4x + 3 - это все неотрицательные числа и ноль: [0, +∞).

2. Промежуток убывания функции: По графику видно, что функция убывает на интервале (-∞, 2]. Это означает, что функция f(x) = x^2 - 4x + 3 убывает на этом интервале.

3. Множество решений неравенства f(x) > 0: Чтобы найти множество решений неравенства f(x) > 0, мы ищем значения x, при которых график функции находится выше оси x (то есть положительные значения y). Исходя из графика, мы видим, что график находится выше оси x на интервалах (1, 3) и (2, +∞). Таким образом, множество решений неравенства f(x) > 0 - это интервал (1, 3) объединен