Question

Произведение двух последовательных натуральных чисел на 209 больше их суммы. Найдите эти числа.

Answer 1

Первое число = x, тогда второе (так как последовательное) = x + 1. Составим уравнение:

x · (x + 1) = x + x + 1 + 209

x² + x = 2x + 210

x² - x - 210 = 0

D = 1 + 4 · 210 = 841 = 29²

x₁₂ = (1 ± 29) / 2 = 15; -14

По условию требуются натуральные числа (от 0 до ∞), поэтому корень -14 отпадает. Так как x = 15, то следующее число = 15 + 1 = 16

Ответ

15; 16

Answer 2

Пусть первое число равно $n$, тогда второе число будет равно $n+1$. По условию задачи, произведение двух последовательных натуральных чисел на 209 больше их суммы:

$n(n+1) + 209 > n + (n+1)$

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

$n^2 + n + 209 > 2n + 1$

Переносим все слагаемые в левую часть неравенства:

$n^2 - n - 208 > 0$

Решаем получившееся квадратное уравнение, используя формулу дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-208) = 833$

Корни уравнения:

$n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{833}}{2}$

Так как $n$ — натуральное число, то возможны только два случая: $n = 19$ и $n = 20$. Проверяем:

$19 \cdot 20 + 209 = 589 > 39 = 19 + 20$ $20 \cdot 21 + 209 = 629 > 41 = 20 + 21$

Таким образом, ответ: искомые числа равны 19 и 20.