Question

Решите уравнение 20 баллов 5(1-sin2x)-16(sinx-cosx)+3=0

Answer 1

5(sin²x+cos²x-2sinxcosx)-16(sinx-cosx)+3=0

5(sinx-cosx)²-16(sinx-cosx)+3=0

sinx-cosx=t

5t²-16t+3=0, D1=8²-15=64-15=49

t1=(8+7)/5=3,t2=1/5.

1)sinx-cosx=3--не имеет корней

2) sinx -cosx=1/5

√2(1/√2·sinx-1/√2·cosx)=1/5

√2(sinx·cosπ/4-cosx·sinπ/4)=1/5

√2sin(x-π/4)=1/5

sin(x-π/4)=1/(5√2)⇒sin(x-π/4)=√2/10

x-π/4=(-1)^n arcsin√2/10 +πn,n∈Z

x=(-1)^n  arcsin√2/10+π/4+πn,n∈Z

Answer 2

Дано уравнение:

20 баллов 5(1-sin2x)-16(sinx-cosx)+3=0

Раскроем скобки и упростим выражение:

100 - 100sin^2x - 16sinx + 16cosx + 3 = 0

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:

-100sin^2x - 16sinx + 16cosx + 103 = 0

Поменяем местами слагаемые с синусами и косинусами, используя то, что sin^2x + cos^2x = 1:

-100(1-cos^2x) - 16sinx + 16cosx + 103 = 0

Упростим:

-100cos^2x + 16cosx - 100 + 103 = 0

-100cos^2x + 16cosx + 3 = 0

Решим квадратное уравнение относительно cosx:

cosx = (-16 ± sqrt(16^2 - 4*(-100)3)) / (2(-100))

cosx = (-16 ± 4*sqrt(19)) / (-200)

cosx = (4/50) ± (sqrt(19)/50)

cosx = (2/25) ± (sqrt(19)/25)

Таким образом, получаем два корня для уравнения:

cosx = (2 + sqrt(19))/25 или cosx = (2 - sqrt(19))/25

Для каждого из этих значений cosx найдем соответствующие значения sinx, используя то, что sin^2x + cos^2x = 1:

sinx = sqrt(1 - cos^2x)

sinx = sqrt(1 - ((2 + sqrt(19))/25)^2) или sinx = sqrt(1 - ((2 - sqrt(19))/25)^2)

sinx = sqrt(39 - 4sqrt(19))/25 или sinx = sqrt(39 + 4sqrt(19))/25

Таким образом, получаем два решения уравнения:

x = arcsin(sqrt(39 - 4sqrt(19))/25) + 2πk или x = π - arcsin(sqrt(39 - 4sqrt(19))/25) + 2πk

x = arcsin(sqrt(39 + 4sqrt(19))/25) + 2πk или x = π - arcsin(sqrt(39 + 4sqrt(19))/25) + 2πk

где k - произвольное целое число.