Question

Найдите неизвестные элементы треугольника АВС , если а=3, с=2 <В=60

Answer 1

По теореме косинусов:$\displaystyle \tt b^2=a^2+c^2-2ac \cdot cos \: B\\\\ \displaystyle \tt b=\sqrt{a^2+c^2-2ac\cdot cos\:B}=\sqrt{3^2+2^2-2\cdot3\cdot2\cdot cos\:60}=\sqrt{9+4-12\cdot\frac{1}{2}}=\sqrt{13-6}=\sqrt{7}$

По теореме синусов:

$\displaystyle \tt \frac{a}{sin\:A}=\frac{b}{sin\:B}\\\\sin\:A=\frac{a\cdot sin\:B}{b}=\frac{3\cdot sin\:60}{\sqrt{7}}=\frac{3\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{7}}=\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}=\frac{3\sqrt{21}}{14}\approx 0,982\\\\ \angle A\approx79^{\circ}6'$

По теореме о сумме углов в треугольнике:

$\displaystyle \tt \angle C\approx180^{\circ}-(\angle A+\angle B)\approx180^{\circ}-(79^{\circ}6'+60^{\circ})\approx180^{\circ}-139^{\circ}6'\approx 40^{\circ}54'$

Ответ: $\displaystyle \tt b=\sqrt{7}$; $\displaystyle \tt \angle A\approx79^{\circ}6'$; $\displaystyle \tt \angle C\approx40^{\circ}54'$

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике АВС.

Так как угол В равен 60 градусов, мы знаем, что угол А равен 90 - 60 = 30 градусов. Тогда мы можем использовать тригонометрические соотношения для синуса, косинуса и тангенса угла 30 градусов:

sin 30 = 1/2 cos 30 = sqrt(3)/2 tan 30 = 1/sqrt(3) = sqrt(3)/3

Затем мы можем найти значение стороны ВА, используя теорему синусов:

sin A/а = sin B/в = sin C/с

sin 30/3 = sin 60/в

в = sin 60*3/sin 30

в = 2*3 = 6

Теперь мы можем найти значение стороны СВ, используя теорему косинусов:

с² = а² + в² - 2а в cos B

2² = 3² + 6² - 236*cos 60

4 = 9 + 36 - 18*cos 60

cos 60 = 1/2

4 = 45 - 9

9 = 2с

с = 9/2

Таким образом, мы нашли все неизвестные элементы треугольника АВС: ВА = 6, АС = 3, СВ = 9/2.