Question

Выпишите уравнение касательной к графику функции, проходящейчерез точку с абсциссой х₀=1; х₀=-2; х₀=0: 1) f(x)=6 2) f(x)=x³-4x

Answer 1

уравнение касательной к f(x) в точке x0

g1(x)=f(x0)+f`(x0)(x-x0)

уравнение нормали

g2(x)=f(x0)-(x-x0)/f`(x0)

f(x)=x^3-4x; x0=1; f`(x)=3x^2-4; f(x0)=f(1)=1^3-4*1=1-4=-3; f`(x0)=f`(1)=3*1^2-4=3-4=-1

g1(x)= -3+(-1)(x-1)=-3-x+1=-2-x-касательная

g2(x)= -3-(x-1)/(-1)=-3+x-1=x-4-нормаль

Answer 2

1. Функция f(x) = 6 является горизонтальной линией, параллельной оси абсцисс. Таким образом, её уравнение касательной будет иметь вид y = 6.

2. Для функции f(x) = x³ - 4x найдем производную:

f'(x) = 3x² - 4.

Теперь найдем значение производной в заданных точках:

a) При x₀ = 1: f'(1) = 3(1)² - 4 = 3 - 4 = -1.

Уравнение касательной к графику функции f(x) = x³ - 4x в точке (1, f(1)) будет иметь вид: y - f(1) = f'(1)(x - 1), y - (1³ - 4(1)) = -1(x - 1), y - (-3) = -1(x - 1), y + 3 = -x + 1, y = -x - 2.

Таким образом, уравнение касательной при x₀ = 1 будет y = -x - 2.

b) При x₀ = -2: f'(-2) = 3(-2)² - 4 = 12 - 4 = 8.

Уравнение касательной к графику функции f(x) = x³ - 4x в точке (-2, f(-2)) будет иметь вид: y - f(-2) = f'(-2)(x + 2), y - (-2)³ - 4(-2) = 8(x + 2), y + 8 = 8(x + 2), y = 8x + 16 - 8, y = 8x + 8.

Таким образом, уравнение касательной при x₀ = -2 будет y = 8x + 8.

c) При x₀ = 0: f'(0) = 3(0)² - 4 = -4.

Уравнение касательной к графику функции f(x) = x³ - 4x в точке (0, f(0)) будет иметь вид: y - f(0) = f'(0)(x - 0), y - (0³ - 4(0)) = -4(x - 0), y - 0 = -4(x - 0), y = -4x.

Таким образом, уравнение касательной при x₀ = 0 будет y = -4x.