Question

Найти производную y=x^(cos x)

Answer 1

$(x^{cosx})'=(e^{ln(x^{cosx})})'=(e^{cosx*lnx})'=e^{cosx*lnx}*(cosx*lnx)'=x^{cosx}*(-sinx*lnx+cosx*\dfrac{1}{x})$

Answer 2

Для нахождения производной функции y = x^(cos x) воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом) и правилом дифференцирования степенной функции.

Правило дифференцирования сложной функции: Если у нас есть функция f(g(x)), то ее производная равна произведению производной внешней функции f'(g(x)) и производной внутренней функции g'(x).

Производная степенной функции: Правило дифференцирования степенной функции y = x^n (где n - постоянное число) состоит в умножении степени на коэффициент при x и уменьшении степени на 1.

Применяя эти правила, начнем с выражения y = x^(cos x).

1. Возьмем логарифм от обеих сторон: ln(y) = ln(x^(cos x))

2. Применим свойство логарифма ln(a^b) = b * ln(a): ln(y) = (cos x) * ln(x)

3. Возьмем производную от обеих сторон по переменной x: (1/y) * y' = (-sin x) * ln(x) + (cos x) * (1/x)

4. Умножим обе части на y: y' = y * ((-sin x) * ln(x) + (cos x) * (1/x))

5. Заменим y на исходное выражение x^(cos x): y' = x^(cos x) * ((-sin x) * ln(x) + (cos x) * (1/x))

Таким образом, производная функции y = x^(cos x) равна y' = x^(cos x) * ((-sin x) * ln(x) + (cos x) * (1/x)).