Question

Розв'язати рівняння. Cos7x*Cos3x=Cos4x

Answer 1

У лівій частині рівнянні від добутку косинусів перейдемо до суми косинусів за наступною формулою : 
     $\cos \alpha \cos \beta =0.5(\cos( \alpha - \beta )+\cos( \alpha + \beta ))$

В даному випадку  $0.5(\cos(7x-3x)+\cos(7x+3x))=\cos 4x\\ \\ 0.5(\cos 4x+\cos10x)=\cos 4x\\ \\ 0.5\cos 4x+0.5\cos 10x=\cos 4x\\ \\ 0.5\cos 10x-0.5\cos4x=0\\ \\ 0.5(\cos10x-\cos 4x)=0$

І знову перейдемо до добутку

$0.5\cdot(-2)\cdot\sin \frac{10x+4x}{2} \sin \frac{10x-4x}{2} =0\\ \\ -\sin7x\sin3x=0$

Добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один із множників дорівнює нулю
$\sin7x=0;~~~~~~\Rightarrow~~~~~~ x_1= \dfrac{\pi k}{7},k\in \mathbb{Z}\\ \\ \sin3x=0;~~~~~~\Rightarrow~~~~~~ x_2= \dfrac{\pi k}{3},k\in \mathbb{Z}$

Answer 2

Для вирішення рівняння cos(7x) * cos(3x) = cos(4x) можна скористатися формулою подвійного кута для косинуса та формулою суми косинусів. Давайте розглянемо кожну частину окремо.

Спочатку використаємо формулу подвійного кута для косинуса:

cos(2A) = 2 * cos²(A) - 1

Підставимо цю формулу для cos(4x):

cos(4x) = 2 * cos²(2x) - 1

Тепер використаємо формулу суми косинусів:

cos(A + B) = cos(A) * cos(B) - sin(A) * sin(B)

cos(7x) * cos(3x) = cos(4x)

(cos(7x) * cos(3x)) - cos(4x) = 0

Тепер замінимо cos(7x) і cos(3x) згідно з формулою суми косинусів:

(cos(7x) * cos(3x)) - (2 * cos²(2x) - 1) = 0

Розкриємо дужки та спростимо:

cos(7x) * cos(3x) - 2 * cos²(2x) + 1 = 0

Тепер перенесемо всі терміни на одну сторону:

cos(7x) * cos(3x) - 2 * cos²(2x) + 1 = 0

cos(7x) * cos(3x) - 2 * (1 - sin²(2x)) + 1 = 0

cos(7x) * cos(3x) - 2 + 2 * sin²(2x) + 1 = 0

cos(7x) * cos(3x) + 2 * sin²(2x) - 1 = 0

Тепер використаємо формулу суми косинусів для cos(7x + 3x):

cos(7x + 3x) = cos(7x) * cos(3x) - sin(7x) * sin(3x)

Підставимо цю формулу:

cos(7x + 3x) + 2 * sin²(2x) - 1 = 0

cos(10x) + 2 * sin²(2x) - 1 = 0

Тепер знаходимо sin²(2x) за формулою:

sin²(2x) = (1 - cos(4x)) / 2

Підставимо це значення:

cos(10x) + 2 * ((1 - cos(4x)) / 2) - 1 = 0

cos(10x) + 1 - cos(4x) - 1 = 0

cos(10x) - cos(4x) =