Question

Решите уравнение 1/sin^2x+1/sinx=2 

Answer 1

$\frac{1}{ sin^{2}x } + \frac{1}{sinx}=2$
Сделаем замену
$t=sinx$
 Заметим, что  $-1 \leq t \leq 1$
$\frac{1}{ t^{2} }+ \frac{1}{t}=2$
$\frac{1+t}{ t^{2} } = \frac{2 t^{2} }{ t^{2} }$
ОДЗ  $sinx \neq 0$
$x \neq \pi k$
Решим уравнение
$2 t^{2}-t-1=0$
$D=9$
$t_{1}=1$
$t_{2}=- \frac{1}{2}$
Сделаем обратную замену
$sinx=1$
$sinx=- \frac{1}{2}$
$x_{1} = \frac{ \pi }{2} +2 \pi k$
$x_{2} = (-1)^{k+1}* \frac{ \pi }{6}+ \pi k$
Оба решения входят в ОДЗ и являются ответами

Answer 2

Давайте решим данное уравнение.

Уравнение имеет вид:

1/sin^2(x) + 1/sin(x) = 2

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

1/sin^2(x) + 1/sin(x) - 2 = 0

Для удобства введем замену: пусть t = 1/sin(x). Тогда наше уравнение примет вид:

t^2 + t - 2 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение:

(t + 2)(t - 1) = 0

Из этого получаем два возможных значения для t:

t + 2 = 0 => t = -2

t - 1 = 0 => t = 1

Теперь восстановим значения sin(x) из замены t:

1/sin(x) = -2 => sin(x) = -1/2

1/sin(x) = 1 => sin(x) = 1

Мы получили два возможных значения для sin(x): -1/2 и 1.

Для первого значения sin(x) = -1/2 решим уравнение:

sin(x) = -1/2

x = arcsin(-1/2)

x = -π/6 + 2πn (n ∈ ℤ)

Для второго значения sin(x) = 1 решим уравнение:

sin(x) = 1

x = arcsin(1)

x = π/2 + 2πn (n ∈ ℤ)

Таким образом, решения уравнения 1/sin^2(x) + 1/sin(x) = 2 равны:

x = -π/6 + 2πn, π/2 + 2πn (n ∈ ℤ)