Question

Доказать, что равенство x²+4y²+4y-4x+5≥0 верно при любых х и у.

Answer 1

x²+4y²+4y-4x+5=(x^2-4x+4)+(4y^2+4y+1)=(x-2)^2+(2y+1)^2>=0

квадрат любого выражения не меньше нуля.

сумма квадратов следовательно тоже неменьше нуля

Answer 2

Давайте рассмотрим выражение x² + 4y² + 4y - 4x + 5 и попробуем доказать, что оно всегда неотрицательное для любых значений x и y.

Мы можем переписать данное выражение в виде суммы квадратов:

x² + 4y² + 4y - 4x + 5 = (x² - 4x + 4) + 4(y² + y + 1)

Продолжим преобразование:

x² + 4y² + 4y - 4x + 5 = (x - 2)² + 4(y² + y + 1)

Теперь давайте рассмотрим каждое слагаемое по отдельности:

1. (x - 2)²: Квадрат разности (x - 2)² всегда неотрицателен, так как является суммой двух неотрицательных слагаемых (x - 2) * (x - 2).

2. 4(y² + y + 1): При выражении y² + y + 1 в форме квадратного трёхчлена (y + 0.5)² + 0.75, мы видим, что это выражение всегда неотрицательно.

Таким образом, каждое слагаемое является неотрицательным, и их сумма также будет неотрицательной.

Следовательно, равенство x² + 4y² + 4y - 4x + 5 ≥ 0 верно для любых значений x и y.