Question

Постройте график функции y= x^2-6x-7. Найдите: а) при каких значениях аргумента значения функции положительны; ,б) при каких значениях аргумента функция убывает.

Answer 1

Ответы с решением во вложениях.
Ответ:
а) f(x)>0  при  x ∈ (-∞;-1)U(7;+∞)
б) f(x) ↓при  x ∈ (-∞;3).

Answer 2

Для построения графика функции y = x^2 - 6x - 7 и определения интервалов, на которых функция положительна или убывает, нужно выполнить следующие шаги.

1. Построение графика: Для начала, нарисуем график функции. В данном случае, так как это квадратичная функция, она будет представлять собой параболу.

   Коэффициенты функции: a = 1, b = -6, c = -7.

   Чтобы найти вершину параболы, воспользуемся формулой x = -b / (2a) и подставим значения коэффициентов: x = -(-6) / (2*1) = 3.

   Теперь найдем значение y при x = 3, подставив это значение в функцию: y = (3)^2 - 6*(3) - 7 = 9 - 18 - 7 = -16.

   Таким образом, вершина параболы будет иметь координаты (3, -16).

   Далее, нарисуем параболу, используя вершину и направление открытия:

   

2. Определение интервалов, на которых функция положительна: Функция y = x^2 - 6x - 7 будет положительной на интервалах, где она находится выше оси x (y > 0).

   Из графика видно, что функция находится выше оси x в двух интервалах: (-бесконечность, a) и (b, +бесконечность), где a и b - корни функции, то есть значения аргумента, при которых функция равна нулю.

   Чтобы найти эти значения, приравняем функцию к нулю и решим полученное уравнение:

   x^2 - 6x - 7 = 0

   Решив это уравнение, получим два корня: x = -1 и x = 7.

   Таким образом, функция положительна на интервалах (-бесконечность, -1) и (7, +бесконечность).

3. Определение интервалов, на которых функция убывает: Функция y = x^2 - 6x - 7 убывает на интервалах, где производная функции отрицательна (y' < 0).

   Чтобы найти интервалы убывания, найдем производную функции и решим неравенство y' < 0:

   y' = 2x - 6

   2x - 6 < 0