Question

Исследовать функ-ию (х^2 + 4)÷х

Answer 1

(х^2 + 4)÷х=4...........

Answer 2

Дана функция $f(x) = \frac{{x^2 + 4}}{x}$. Давайте исследуем её.

Сначала рассмотрим область определения функции. Поскольку функция содержит деление на $x$, она не определена при $x = 0$. Таким образом, областью определения функции будет множество всех действительных чисел, кроме нуля: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

Далее, рассмотрим поведение функции при $x$ стремящемся к положительной бесконечности ($x \rightarrow +\infty$). В этом случае, $x^2$ будет доминирующим членом функции, и $\frac{{x^2 + 4}}{x}$ будет стремиться к $+\infty$. То есть, функция будет увеличиваться величиной без ограничений при $x \rightarrow +\infty$.

Аналогично, если $x$ стремится к отрицательной бесконечности ($x \rightarrow -\infty$), $x^2$ также будет доминирующим членом, и $\frac{{x^2 + 4}}{x}$ будет стремиться к $-\infty$. Значит, функция будет уменьшаться величиной без ограничений при $x \rightarrow -\infty$.

Теперь рассмотрим поведение функции около $x = 0$. В этом случае, функция становится неопределенной из-за деления на ноль. Однако, можно приблизить поведение функции в этой точке, проведя анализ предела:

$$\lim_{{x \to 0}} \frac{{x^2 + 4}}{x} = \lim_{{x \to 0}} (x + \frac{4}{x}) = 0 + \frac{4}{0}$$

Поскольку деление на ноль не имеет определенного значения, предел не существует. Это указывает на наличие вертикальной асимптоты в точке $x = 0$.

Таким образом, у функции $f(x) = \frac{{x^2 + 4}}{x}$ есть вертикальная асимптота в $x = 0$, и она увеличивается величиной без ограничений при $x \rightarrow +\infty$ и уменьшается величиной без ограничений при $x \rightarrow -\infty$.