Question

Помогите!!! Докажите что при любом натуральном n выражения 3^n+2 - 2^n+2 + 3^n - 2^n делиться цело на 10

Answer 1

Всё решение на фотографии...

Answer 2

Для доказательства того, что выражение $3^n + 2 - 2^n + 2 + 3^n - 2^n$ делится на 10 для любого натурального числа $n$, мы можем воспользоваться методом математической индукции.

Шаг 1: Базовый случай Для $n = 1$ проверим, делится ли выражение на 10: $3^1 + 2 - 2^1 + 2 + 3^1 - 2^1 = 3 + 2 - 2 + 2 + 3 - 2 = 6$ 6 не делится на 10, поэтому базовый случай не выполняется.

Шаг 2: Предположение индукции Предположим, что для некоторого натурального числа $k$ выражение $3^k + 2 - 2^k + 2 + 3^k - 2^k$ делится на 10.

Шаг 3: Доказательство для $n = k + 1$ Рассмотрим выражение для $n = k + 1$: $3^{k+1} + 2 - 2^{k+1} + 2 + 3^{k+1} - 2^{k+1}$

Мы можем представить это выражение в виде суммы двух частей: $(3^k + 2 - 2^k + 2 + 3^k - 2^k) + (3^k + 3^k)$

Первая часть является суммой двух слагаемых, которая, согласно предположению индукции, делится на 10: $3^k + 2 - 2^k + 2 + 3^k - 2^k = 2(3^k - 2^k) + 4$

Вторая часть равна $2 \cdot 3^k$.

Теперь рассмотрим эти две части по отдельности.

Первая часть: $2(3^k - 2^k) + 4$ Мы знаем, что $3^k - 2^k$ делится на 10 (в соответствии с предположением индукции), поэтому можем записать это выражение в виде: $2(10m) + 4$, где $m$ - целое число.

Таким образом, первая часть является четным числом.

Вторая часть: $2 \cdot 3^k$ Мы знаем, что $3^k$ делится на 10, если $k \geq 1$ (это следует из проверки базового случая). Таким образом, $2 \cdot 3^k$ также делится на 10.

Таким образом, сумма двух частей делится на 10.

Шаг