Question

Па­ра­бо­ла про­хо­дит через точки K(0; –5), L(4; 3), M(–3; 10). Най­ди­те ко­ор­ди­на­ты её вер­ши­ны. Пожалуйста с пояснениями. (Больше всего интересует нахождение: а, в и с)

Answer 1

Уравнение параболы в общем виде выглядит так:  

y = ax²+bx+c

Подставив координаты точек, через которые проходит парабола, в уравнение параболы и получим систему из трёх уравнений.

1) Координаты х₁=0; у₁= -5 точки K(0; –5) подставим в уравнение параболы y = ax²+bx+c и получим:  

-5 = a·0² +b·0+c

c= - 5 первое уравнение.

2) Координаты х₂=4; у₂= 3 точки L(4; 3) подставим в уравнение параболы y = ax²+bx+c и получим:  

3 = a·4² +b·4+c

16a+4b+c= 3   второе уравнение.

3) Координаты х₃= -3; у₁=  10 точки M(-3; 10) подставим в уравнение параболы y = ax²+bx+c и получим:

10 = a·(-3)² +b·(-3)+c

9a-3b+c= 10   третье уравнение.

4) Решаем систему из трёх уравнений:

{c= -5

{16a+4b+c = 3

{9a-3b+c = 10

Подставим c= -5 во второе и третье уравнения, получим систему из двух уравнений:

$\left\{ {{16a+4b-5=3} \atop {9a-3b-5=10}} \right.$

$\left\{ {{16a+4b=5+3} \atop {9a-3b=5+10}} \right.$

$\left\{ {{16a+4b=8} \atop {9a-3b=15}} \right.$

$\left\{ {{16a+4b=8}|:4 \atop {9a-3b=15}|:3} \right.$

$\left\{ {{4a+b=2} \atop {3a-b=5}} \right.$

Сложим:

$4a+b+3a-b=2+5$

$7a=7$

$a=7:7$

$a=1$

Подставим а=1 в уравнение 4a+b=2 и найдем b:

$4a+b=2$

$b=2-4$

$b=-2$

5) А теперь, узнав a=1;  b= -2;  c= -5, запишем уравнение данной параболы:

у = х² - 2х - 5

6)Найдем  координату х₀ вершины параболы по формуле:

$x_0=-\frac{b}{2a}$

$x_0=-\frac{-2}{2*1}=\frac{2}{2}=1$

$x_0=1$

Координату  вершины параболы y₀ найдём подстановкой х₀=1 в уравнение параболы у = х² - 2х - 5.

у₀=1²-2·1 - 5

у₀=1-2 - 5

у₀= -6

Ответ: (1; −6) координаты  вершины параболы.

Answer 2

Чтобы найти координаты вершины параболы, нам необходимо определить её уравнение в стандартной форме.

Общее уравнение параболы имеет вид y = ax^2 + bx + c, где a, b и c - коэффициенты, которые мы должны найти.

Используя известные точки на параболе, мы можем составить систему уравнений и решить её, чтобы найти значения a, b и c.

Подставим координаты точки K(0, -5) в уравнение параболы: -5 = a(0)^2 + b(0) + c -5 = c

Таким образом, у нас уже есть значение c: c = -5.

Подставим координаты точки L(4, 3) в уравнение параболы: 3 = a(4)^2 + b(4) - 5 3 = 16a + 4b - 5 16a + 4b = 8 (Уравнение 1)

Подставим координаты точки M(-3, 10) в уравнение параболы: 10 = a(-3)^2 + b(-3) - 5 10 = 9a - 3b - 5 9a - 3b = 15 (Уравнение 2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений (Уравнение 1 и Уравнение 2) с двумя неизвестными (a и b). Решим эту систему, чтобы найти значения a и b.

Мы можем умножить Уравнение 1 на 3 и сложить его с Уравнением 2, чтобы устранить переменную b: 48a + 12b = 24 (Уравнение 3) 9a - 3b = 15 (Уравнение 2)

Умножим Уравнение 2 на 4 и сложим его с Уравнением 3: 48a + 12b = 24 (Уравнение 3) 36a - 12b = 60 (Уравнение 4)

Сложим эти два уравнения: 84a = 84 a = 1

Теперь, когда у нас есть значение a, мы можем подставить его в Уравнение 1, чтобы найти b: 16(1) + 4b = 8 4b = -8 b = -2

Таким образом, мы нашли значения a = 1 и b = -2. Мы также знаем, что c = -5.

Теперь, когда у нас есть значения всех коэффициентов, мы можем записать уравнение параболы в стандартной форме:

y = ax^2 + bx + c y = x^2 - 2x - 5

В стандартной форме у