Question

Знайдіть область значень функціїy=3x^2-2x+1y=-2x^2+3x-4

Answer 1

Область визначення функцій:

$1) x \in R$ (х - будь-яке число)

$2) x \in R$ (х - будь-яке число)

Область значення функцій:

Знайдемо мінімальне значення функції:

1) $x_{min} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$y(\frac{1}{3}) = 3\cdotp \frac{1}{9} - 2 \cdotp \frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}$

Тоді область значення функції:

$y \in (\frac{2}{3}; \infty)$

2) $x_{min} = \frac{-3}{-4} = \frac{3}{4}$

$y(\frac{3}{4}) = - 2 \cdotp \frac{3}{4} + 3 \cdotp \frac{3}{4} - 4 = -\frac{23}{8}$

Тоді область значення функції:

$y \in (-\infty; -\frac{23}{8})$

Answer 2

Y = 3x^2 - 2x + 1 -- это парабола, ветви которой направлены вверх.
Найдем координаты вершины.
Xв = -b/2a = - -2/2*3 = 1/3
Yв = 3*(1/3)^2 - 2*1/3 + 1 = 1/3 - 2/3 + 1 = -1/3 + 1 = 2/3
=> Область значений:
E(y) = [2/3; +беск)

2.
y = -2x^2 + 3x - 4 -- это парабола, ветви которой направлены вниз.
Найдем координаты её вершины.
Xв = -b/2a = -3/-2*2 = 3/4
Yв = -2*(3/4)^2 + 3*3/4 - 4 = -2*9/16 + 9/4 - 4 = -9/8 + 9/4 - 4 = -9/8 + 18/8 - 4 = 9/8 - 4 = 9/8 - 32/8 = -23/8 => область значений: E(y) = (-беск; -23/8]

Answer 3

Щоб знайти область значень кожної з функцій, можна розглянути їх графіки. Однак, оскільки це неможливо в текстовому форматі, ми можемо провести аналіз коефіцієнтів квадратичних функцій, щоб визначити область їх значень.

Функція y = 3x^2 - 2x + 1 є параболою з позитивним ведучим коефіцієнтом (3), що означає, що вона відкривається вгору. Такі параболи мають мінімальне значення на вершині, а потім збільшуються необмежено вгору і вниз. Таким чином, область значень цієї функції є всі дійсні числа, більші або рівні мінімальному значенню, яке досягається на вершині параболи.

Щоб знайти вершину параболи, можемо використати формулу x = -b / (2a), де a і b - це коефіцієнти перед x^2 і x відповідно. У нашому випадку, a = 3 і b = -2:

x = -(-2) / (2 * 3) = 2 / 6 = 1/3

Підставимо x = 1/3 у функцію, щоб знайти відповідне значення y:

y = 3(1/3)^2 - 2(1/3) + 1 = 3(1/9) - 2/3 + 1 = 1/3 - 2/3 + 1 = 2/3

Таким чином, мінімальне значення функції y = 3x^2 - 2x + 1 дорівнює 2/3, і область її значень є всі дійсні числа, більші або рівні 2/3.

Тепер розглянемо функцію y = -2x^2 + 3x - 4, яка також є параболою. У цьому випадку вона відкривається вниз, оскільки коефіцієнт перед x^2 є від'ємним (-2). Такі параболи ма