Question

Найти вещественную часть числа z, если z=((1+i)/(1-i))^11

Answer 1

$z=\Big (\frac{1+i}{1-i}\Big )^{11}=\Big (\frac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)}\Big )^{11}=\Big (\frac{1+2i+i^2}{1-i^2}\Big )^{11}=\Big (\frac{2i}{2}\Big )^{11}=i^{11}=\\\\=i^{10}\cdot i=(i^2)^5\cdot i=(-1)^5\cdot i=-1\cdot i=-i\\\\-i=0+(-1)\cdot i\\\\-i=a+bi\; \; \; \Rightarrow \; \; \; a=0\; ,\; b=-1$

Answer 2

Давайте начнем с раскрытия выражения в скобках:

(1 + i) / (1 - i) = [(1 + i) * (1 + i*)] / [(1 - i) * (1 + i*)] = [1 + i + i - 1] / [1 - i + i + i*] = [2i] / [2] = i

Теперь возведем i в степень 11:

i^11 = i^(10 + 1) = i^10 * i^1

Заметим, что i^2 = -1:

i^11 = (i^2)^5 * i = (-1)^5 * i = -1 * i = -i

Итак, мы получили, что z = -i. Вещественная часть числа z равна 0.