Question

Решите уравнение пожалуйста 4^(x)-10*2^(x-1)=24 . Только без замены пр.: t=2x

Answer 1

Ответ: x=3.

Объяснение:

Перепишем уравнение в виде (2ˣ)²-5*2ˣ-24=(2ˣ-5/2)²-121/4=0.  Отсюда (2ˣ-5/2)²=121/4=(11/2)²=(-11/2)² и тогда 2ˣ-5/2=11/2 либо 2ˣ-5/2=-11/2. решая эти уравнения, находим 2ˣ=8 либо 2ˣ=-3. Но второе уравнение решений не имеет, так как при любом x 2ˣ>0. Поэтому 2ˣ=8, откуда x=log(2)8=3.

Answer 2

Для решения данного уравнения без использования замены переменной можно привести его к квадратному виду. Пусть $t = 2^x$, тогда $2^{x-1} = \frac{t}{2}$ и $4^x = (2^x)^2 = t^2$.

Подставим полученные выражения в уравнение:

$t^2 - 10\left(\frac{t}{2}\right) = 24$

Раскроем скобки:

$t^2 - 5t = 24$

Теперь перенесём все слагаемые в левую часть уравнения:

$t^2 - 5t - 24 = 0$

Полученное уравнение является квадратным. Решим его, используя квадратное уравнение или факторизацию:

$t^2 - 8t + 3t - 24 = 0$ $t(t - 8) + 3(t - 8) = 0$ $(t + 3)(t - 8) = 0$

Таким образом, получаем два возможных значения для $t$:

$t + 3 = 0$ или $t - 8 = 0$

Решая эти уравнения, получаем:

$t_1 = -3$ или $t_2 = 8$

Теперь подставим обратно $t$ в выражение $t = 2^x$, чтобы найти соответствующие значения $x$:

Когда $t = -3$:

$2^x = -3$

Это уравнение не имеет действительных решений, так как нельзя возвести положительное число (2) в степень и получить отрицательный результат.

Когда $t = 8$:

$2^x = 8$

Мы знаем, что $2^3 = 8$, следовательно $x = 3$.

Итак, решение уравнения $4^x - 10 \cdot 2^{x-1} = 24$ без замены переменной $t = 2x$ равно $x = 3$.