Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x^2-2x+3; y=0, x=1, x=2y=x^2-2x+8; y=0, x=-1, x=3

Answer 1

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями, необходимо вычислить интеграл (это и есть физический смысл интеграла).
Из "верхней" функции вычесть "нижнюю" - это выражение под интегралом, пределы интегрирования - значения а и b в порядке возрастания (значения a и b берутся из прямых вида x=a, x=b, где а, b - любое число).

1)  $S= \int\limits^2_1 {(x^{2}-2x+3-0)} \, dx=\int\limits^2_1 {(x^{2}-2x+3)} \, dx=\frac{x^{3}}{3}-\frac{2x^{2}}{2}+3x|^{2}_{1}$ $\frac{x^{3}}{3}-\frac{2x^{2}}{2}+3x|^{2}_{1}=(\frac{2^{3}}{3}-2^{2}+3*2)-(\frac{1^{3}}{3}1^{2}+3*1)=$ $\frac{2^{3}}{3}-2^{2}+3*2-\frac{1^{3}}{3}+1^{2}-3*1=\frac{8}{3}-4+6-\frac{1}{3}+1-3=\frac{7}{3}=2\frac{1}{3}$ - ответ

2)  $S= \int\limits^3_{-1} {(x^{2}-2x+8-0)} \, dx=\frac{x^{3}}{3}-\frac{2x^{2}}{2}+8x|^{3}_{-1}=$ $\frac{27}{3}-9+24-(-\frac{1}{3}-1-8)=\frac{27}{3}-9+24+\frac{1}{3}+9=\frac{28}{3}+24=\frac{28+24*3}{3}$ $\frac{100}{3}=33\frac{1}{3}$ - ответ

Answer 2

Для решения данной задачи, мы можем найти точки пересечения линий и использовать их для построения графиков функций. Затем мы можем вычислить площадь фигуры, ограниченной этими линиями, путем вычисления определенного интеграла.

Первая функция: y = x^2 - 2x + 3

Чтобы найти точки пересечения этой функции с осью x, мы должны решить уравнение: x^2 - 2x + 3 = 0

Мы можем использовать квадратное уравнение или завершить квадрат, чтобы решить его.

Используя завершение квадрата: x^2 - 2x + 3 = (x - 1)^2 + 2

Теперь мы можем найти вершины параболы: x - 1 = 0 => x = 1

Таким образом, точка пересечения с осью x для первой функции - (1, 0).

Вторая функция: y = x^2 - 2x + 8

Для нахождения точек пересечения с осью x, мы должны решить уравнение: x^2 - 2x + 8 = 0

Как мы видим, это квадратное уравнение не имеет решений. То есть вторая функция не пересекает ось x.

Теперь, чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной этими линиями, нам нужно вычислить определенный интеграл между соответствующими пределами.

Площадь фигуры ограниченной линиями x = 1 и x = 2 можно вычислить следующим образом: S1 = ∫[1, 2] (x^2 - 2x + 3) dx

Для вычисления этого определенного интеграла, мы найдем первообразную функции x^2 - 2x + 3, затем вычислим значение интеграла между пределами 1 и 2.

Первообразная функции x^2 - 2x + 3: F(x) = (1/3)x^3 - x^2 + 3x

Теперь вычислим значение интеграла: S1 = F(2) - F(1) = [(1/3)(2)^3 - (2)^2 + 3(2)] - [(1/3)(1)^3 - (1)^2 + 3(1)]

S1 = [8/3 - 4 + 6] - [1/3 - 1 + 3] = 14/3 - 7/3 = 7/3

Таким образом, площадь фигуры, ог