Question

Y=\frac{\sqrt{x-1}+\frac{\sqrt{x}}{x}}{x^2} Найти производную

Answer 1

$y= \frac{ \sqrt{x-1}+\frac{ \sqrt{x} }{x} }{x^2}$
Прежде чем искать производную данной функции ,нужно преобразовать её (упростить)
$y= \frac{x \sqrt{x-1}+ \sqrt{x} }{x^3} \\y'=\frac{(x \sqrt{x-1}+ \sqrt{x} )'x^3-(x \sqrt{x-1}+ \sqrt{x} )(x^3)' }{x^6} =\\=\frac{((x \sqrt{x-1})'+( \sqrt{x} )')x^3-3x^2(x \sqrt{x-1}+ \sqrt{x} )}{x^6} =\\= \frac{(x' \sqrt{x-1}+x( \sqrt{x-1})'+\frac{1}{2 \sqrt{x} } )x^3-3x^2(x \sqrt{x-1}+ \sqrt{x} )}{x^6}=\\= \frac{(( \sqrt{x-1}+\frac{x}{2 \sqrt{x-1} } +\frac{1}{2 \sqrt{x} } )x^3-3x^2(x \sqrt{x-1}+ \sqrt{x} ) }{x^6} =\\=\frac{\frac{2 \sqrt{x(x-1)^2} +x \sqrt{x} + \sqrt{x-1} }{2 \sqrt{x(x-1)} }*x^3-3x^3 \sqrt{x-1} -3x^2 \sqrt{x}}{x^6}$
$\frac{\frac{3x \sqrt{x} -2 \sqrt{x} + \sqrt{x-1} }{2 \sqrt{x(x-1)} }*x^3-3x^3 \sqrt{x-1} -3x^2 \sqrt{x} }{x^6} =\\=\frac{\frac{3x^4 \sqrt{x} -2x^3 \sqrt{x} +x^3 \sqrt{x-1}-6x^3 \sqrt{(x^2-x)(x-1)} -6x^2 \sqrt{(x^2-x)x} }{2 \sqrt{x^2-x} } }{x^6} =\\=\frac{\frac{3x^3 \sqrt{x} -2x^3 \sqrt{x} -5x^3 \sqrt{x-1} -6x^3 \sqrt{x^3-2x^2+x} }{2 \sqrt{x^2-x} } }{x^6} =\\=\frac{3x^4 \sqrt{x} -2x^3 \sqrt{x} -5x^3 \sqrt{x-1}-6x^3 \sqrt{x^3-2x^2+x} }{2x^6 \sqrt{x^2-x} } =\\=\frac{3x \sqrt{x} -2 \sqrt{x} -5 \sqrt{x-1}-6 \sqrt{x^3-2x^2+x} }{2x^3 \sqrt{x^2-x} } =\\=\frac{3x \sqrt{x} -2 \sqrt{x} -5 \sqrt{x-1}-6x \sqrt{x} +6 \sqrt{x} }{2x^3 \sqrt{x^2-x} } = \frac{-3x \sqrt{x} +4 \sqrt{x} -5 \sqrt{x-1} }{2x^3 \sqrt{x^2-x} }$

Answer 2

$Y=\frac{\sqrt{x-1}+\frac{\sqrt{x}}{x}}{x^2}$

$Y=\frac{\sqrt{x-1}+\frac{\sqrt{x}}{x}}{x^2} = \frac{ \sqrt{x-1} }{x^2} + \frac{ \sqrt{x} }{x^3}= \frac{ \sqrt{x-1} }{x^2} + x^{ (\frac{1}{2}-3) }} \\ \\ Y = \frac{ \sqrt{x-1} }{x^2}+x^{ -\frac{5}{2} }$

$Y' = (\frac{ \sqrt{x-1} }{x^2}+x^{ -\frac{5}{2} })'= \\ \\ = \frac{( \sqrt{x-1} )'*x^2- \sqrt{x-1}*(x^2)' }{x^4} + (-\frac{5}{2} )*x^{- \frac{7}{2} }= \\ \\ = \frac{( \sqrt{x-1} )'}{x^2} - \frac{ \sqrt{x-1}*2*x }{x^4} - \frac{5}{2x^3 \sqrt{x} } = \\ \\ = \frac{1}{2x^2 \sqrt{x-1}} - \frac{2 \sqrt{x-1} }{x^3} - \frac{5}{2x^3 \sqrt{x} }$

Answer 3

Для нахождения производной функции Y по переменной x воспользуемся правилами дифференцирования. Начнем с разложения функции Y на более простые части:

Y = (sqrt(x-1) + sqrt(x) / x) / x^2

Для удобства дифференцирования вынесем слагаемое sqrt(x-1) из числителя:

Y = (sqrt(x-1) / x^2) + (sqrt(x) / (x * x^2))

Теперь можем рассмотреть каждое слагаемое по отдельности.

1. Дифференцируем первое слагаемое (sqrt(x-1) / x^2):

При помощи правила дифференцирования функции sqrt(u) = (1 / (2 * sqrt(u))) * u' получаем:

Y1 = (1 / (2 * sqrt(x-1))) * ((x-1)' * x^2 - x^2 * (x-1)') / x^4

Вычислим производные:

(x-1)' = 1 (x-1)' = -1

Подставляем значения:

Y1 = (1 / (2 * sqrt(x-1))) * (1 * x^2 - x^2 * (-1)) / x^4 = (1 / (2 * sqrt(x-1))) * (2x^2) / x^4 = 1 / (sqrt(x-1) * x^2)

2. Дифференцируем второе слагаемое (sqrt(x) / (x * x^2)):

Y2 = ((sqrt(x) / (x * x^2))'

Используем правило дифференцирования функции sqrt(u) = (1 / (2 * sqrt(u))) * u':

Y2 = (1 / (2 * sqrt(x))) * (x' * (x * x^2) - (x * x^2)' * x) / (x * x^2)^2

Вычислим производные:

x' = 1 (x * x^2)' = (1 * (2x^2)) + (x * (2 * 2x)) = 2x^2 + 4x^2 = 6x^2

Подставляем значения:

Y2 = (1 / (2 * sqrt(x))) * (1 * (x * x^2) - (6x^2) * x) / (x * x^2)^2 = (1 / (2 * sqrt(x))) * (x^3 - 6x^3) / (x * x^2)^2 = (-5x^3 / (2 * sqrt(x))) / (x^3)^2 = -5 / (2 * sqrt(x) * x^3)

Теперь объединим полученные результаты:

Y' = Y1 + Y2 = 1 / (sqrt(x-1) * x^2) - 5 / (2 * sqrt(x) * x^3)

Таким образом, производная функции Y равна 1 / (sqrt(x-1) * x^2)