Question

Исследовать функцию на экстремум y= x^4 - 2x^2

Answer 1

1. Берем производную от функции, получаем:

$y= 4x^{3}-4x 4x^{3}-4x=0 4x( x^{2} -1)=0 4x=0 x=0 x^{2}-1=0 x^{2} =1 x=+-1$

Минимумы в точка +-1, максимум в 0

Answer 2

Чтобы исследовать функцию y = x^4 - 2x^2 на экстремумы, мы должны найти её производную и решить уравнение производной равной нулю.

1. Найдем производную функции y по переменной x: y' = 4x^3 - 4x.

2. Решим уравнение y' = 0: 4x^3 - 4x = 0. Факторизуем это уравнение: 4x(x^2 - 1) = 0.

   Получаем два возможных значения для x: a) x = 0. b) x^2 - 1 = 0. x^2 = 1. x = ±1.

3. Чтобы определить, является ли каждая точка экстремумом или нет, проанализируем знаки производной в окрестностях этих точек.

   a) Для x = 0: Возьмем значения x, меньшие и большие 0 (например, x = -1 и x = 1), и подставим их в y': y'(-1) = 4(-1)^3 - 4(-1) = -4 - (-4) = 0, y'(1) = 4(1)^3 - 4(1) = 4 - 4 = 0.

   Значение производной равно нулю именно в точке x = 0. Однако, так как производная меняет знак, переходя из отрицательного в положительное или наоборот, x = 0 является точкой перегиба, а не экстремумом.

   b) Для x = 1: Возьмем значения x, меньшие и большие 1 (например, x = 0 и x = 2), и подставим их в y': y'(0) = 4(0)^3 - 4(0) = 0, y'(2) = 4(2)^3 - 4(2) = 32 - 8 = 24.

   Значение производной меняет знак с отрицательного на положительное, поэтому x = 1 является точкой минимума.

   c) Для x = -1: Возьмем значения x, меньшие и большие -1 (например, x = -2 и x = 0), и подставим их в y': y'(-2) = 4(-2)^3 - 4(-2) = -32 - (-8) = -24, y'(0) = 4(0)^3 - 4(0) = 0.

   Значение производной меняет знак с положительного на отрицательное, поэтому x = -1 является точкой максимума.

Таким образом, функция y = x