Question

докажите что многочлен а2+ 4аб + 5б2+2б+1 при любых значениях а и б принимает неотрицательные значения 

Answer 1

A^2+4ab+4b^2+b^2+2b+1=(a+2b)^2+(b+1)^2  получилась сумма двух квадратов всегда положительное число

Answer 2

Для доказательства того, что многочлен $a^2 + 4ab + 5b^2 + 2b + 1$ принимает неотрицательные значения для любых значений $a$ и $b$, мы можем воспользоваться методом квадратного трёхчлена.

Рассмотрим выражение $a^2 + 4ab + 5b^2$. Мы можем представить его в виде квадратного трёхчлена $(a + 2b)^2 + b^2$. Таким образом, $a^2 + 4ab + 5b^2 = (a + 2b)^2 + b^2$.

Теперь добавим к этому выражению положительное число $2b + 1$. Получим: $(a + 2b)^2 + b^2 + (2b + 1)$.

Мы знаем, что квадрат любого числа является неотрицательным, то есть $(a + 2b)^2 \geq 0$ и $b^2 \geq 0$. Также, поскольку $2b + 1$ является положительным числом, то $(2b + 1) > 0$.

Таким образом, $(a + 2b)^2 + b^2 + (2b + 1) \geq 0 + 0 + (2b + 1) = 2b + 1$.

Получается, что для любых значений $a$ и $b$, выражение $a^2 + 4ab + 5b^2 + 2b + 1$ принимает неотрицательные значения, так как оно больше или равно $2b + 1$, которое является положительным числом.

Таким образом, мы доказали, что многочлен $a^2 + 4ab + 5b^2 + 2b + 1$ принимает неотрицательные значения для любых значений $a$ и $b$.