Question

Решите : sin(arctg1)

Answer 1

По формуле: sin(arctgx)=x/√(1+x²)
 sin(arctg1)=1/√(1+1)=1/√2

Answer 2

Для решения данного выражения, мы можем воспользоваться свойствами тригонометрии и арктангенса.

Предположим, что $\theta = \arctan(1)$. Это означает, что $\tan(\theta) = 1$.

Теперь мы можем использовать основное определение тангенса: $\tan(\theta) = \frac{{\sin(\theta)}}{{\cos(\theta)}}$.

Так как в данном случае $\tan(\theta) = 1$, мы можем записать:

$\frac{{\sin(\theta)}}{{\cos(\theta)}} = 1$.

Перенеся $\cos(\theta)$ в числитель, получим:

$\sin(\theta) = \cos(\theta)$.

Теперь мы можем использовать тригонометрическую идентичность $\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$.

Заменяя $\sin(\theta)$ на $\cos(\theta)$, получим:

$\cos^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$.

Упростив, получим:

$2\cos^2(\theta) = 1$.

Разделив обе части на 2, получим:

$\cos^2(\theta) = \frac{1}{2}$.

Возведя обе части в квадратный корень, получим:

$\cos(\theta) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Так как $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$, мы можем сделать вывод, что $\cos(\theta) > 0$. Поэтому:

$\cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Теперь мы можем использовать соотношение $\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$, чтобы найти значение $\sin(\theta)$:

$\sin^2(\theta) + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = 1$.

$\sin^2(\theta) + \frac{1}{2} = 1$.

$\sin^2(\theta) = \frac{1}{2}$.

Возведя обе части в квадратный корень, получим:

$\sin(\theta) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Так как $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$, мы можем сделать вывод, что $\sin(\theta) > 0$. Поэтому:

$\sin(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Таким образом, $\sin(\arctan(1)) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.