Question

Решите уравнение 6cos^2x+cosx-1=0

Answer 1

Решаем через замену переменных.

Answer 2

Для решения данного уравнения, давайте введем временную переменную, например, пусть t = cos(x). Тогда уравнение примет вид:

6t^2 + t - 1 = 0.

Теперь мы можем решить это уравнение с использованием факторизации или формулы квадратного корня. Давайте воспользуемся формулой квадратного корня:

t = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a),

где a = 6, b = 1 и c = -1.

Подставляя значения, получим:

t = (-(1) ± √((1)^2 - 4(6)(-1))) / (2(6)).

Вычисляя это выражение, получим два возможных значения для t:

t₁ = (-(1) + √(1 + 24)) / 12 = (-(1) + √25) / 12 = (-(1) + 5) / 12 = 4 / 12 = 1/3,

или

t₂ = (-(1) - √(1 + 24)) / 12 = (-(1) - √25) / 12 = (-(1) - 5) / 12 = -6 / 12 = -1/2.

Теперь мы можем найти соответствующие значения x, используя обратную функцию косинуса:

x₁ = arccos(t₁) = arccos(1/3),

или

x₂ = arccos(t₂) = arccos(-1/2).

Таким образом, решение уравнения 6cos^2x + cosx - 1 = 0 в интервале [0, 2π] будет:

x₁ = arccos(1/3) ≈ 1.23096 радиан,

или

x₂ = arccos(-1/2) ≈ 2.0944 радиан.

Помимо этих двух решений, могут существовать другие решения вне указанного интервала, учитывая периодичность функции косинуса.