Question

№2.71* Решите неравенство с помощью общего метода интервалов: а) (х-3)в кубе(х+2)в квадрате(х-4)>0

Answer 1

(x-3)(x-3)(x-3)(x+2)(x+2)(x-4)>0
Находим нули
1) x-3=0
x=3
2) x+2=0
x= (-2)
3) x-4=0
x=4
Рисуем координатую прямую и отмечаем эти точки выколотыми. Затем определяем на каких отрезках значение х будет больше 0
И получается, что х принадлежит ( - бесконечности; -2) сдесь ставишь знак объединения(-2;3) знак объединения(4;+ бесконечности)

Answer 2

Для решения данного неравенства с помощью метода интервалов, мы будем анализировать знаки выражения в каждом из интервалов числовой прямой.

1. Найдем значения x, которые делают каждый из множителей равным нулю:

   • (x - 3) = 0 => x = 3
   • (x + 2) = 0 => x = -2
   • (x - 4) = 0 => x = 4

2. Разобьем числовую прямую на четыре интервала: a) x < -2 б) -2 < x < 3 в) 3 < x < 4 г) x > 4

3. Анализируем знаки выражения (x - 3)^3 * (x + 2)^2 * (x - 4) в каждом интервале: a) x < -2:

   • Возьмем x = -3 (любое значение из интервала)
   • Подставим x = -3 в выражение: (-3 - 3)^3 * (-3 + 2)^2 * (-3 - 4) = (-6)^3 * (-1)^2 * (-7) = -216 * 1 * -7 = 1512
   • Значение положительно: (x - 3)^3 * (x + 2)^2 * (x - 4) > 0

   б) -2 < x < 3:

   • Возьмем x = 0 (любое значение из интервала)
   • Подставим x = 0 в выражение: (0 - 3)^3 * (0 + 2)^2 * (0 - 4) = (-3)^3 * (2)^2 * (-4) = -27 * 4 * -4 = 432
   • Значение положительно: (x - 3)^3 * (x + 2)^2 * (x - 4) > 0

   в) 3 < x < 4:

   • Возьмем x = 3.5 (любое значение из интервала)
   • Подставим x = 3.5 в выражение: (3.5 - 3)^3 * (3.5 + 2)^2 * (3.5 - 4) = (0.5)^3 * (5.5)^2 * (-0.5) = 0.125 * 30.25 * -0.5 = -0.952
   • Значение отрицательно: (x - 3)^3 * (x + 2)^2 * (x - 4) < 0

   г) x > 4:

   • Возьмем x = 5 (любое значение из интервала)
   • Подставим x = 5 в выражение: (5 - 3)^3 * (5 + 2)^2 * (5 - 4) = (2)^3 * (7)^2 *