Question

Решите неравенство( 16-х^2)( х^2+4)(х^2-х-12)≤0

Answer 1

X²+4>0 при всех x - не рассматриваем
(4-x)(4+x)(x-4)(x+3)≤0⇒(x-4)(x+4)(x-4)(x+3)≥0 при смене знака⇒
(x-4)²(x+3)(x+4)≥0⇒|(x-4)²≥0; x=4|⇒(x+3)(x+4)≥0 __+__-3__-___-4___+__
x∈(-∞;-3]∪[-4;∞)

Answer 2

Чтобы решить данное неравенство, нам нужно найти интервалы значений переменной x, при которых выражение (16 - x^2)(x^2 + 4)(x^2 - x - 12) меньше или равно нулю.

1. Начнем с решения уравнений, полученных из неравенства, чтобы найти критические точки: (16 - x^2) = 0 => x^2 = 16 => x = ±4 (x^2 + 4) = 0 => x^2 = -4 (это уравнение не имеет действительных решений) (x^2 - x - 12) = 0 => (x - 4)(x + 3) = 0 => x = 4 или x = -3

2. Теперь рассмотрим каждый из полученных интервалов: a) x < -3: В этом интервале все три множителя являются отрицательными числами, так как (16 - x^2) > 0 для x < -3, (x^2 + 4) > 0 для любого значения x, и (x^2 - x - 12) > 0 для x < -3 (так как оба множителя отрицательны в этом интервале). Таким образом, на этом интервале неравенство не выполняется.

   b) -3 < x < 4: В этом интервале (16 - x^2) положительно, (x^2 + 4) положительно, и (x^2 - x - 12) отрицательно. Чтобы произведение трех множителей было меньше или равно нулю, должно выполняться два условия: (16 - x^2) ≤ 0 и (x^2 - x - 12) ≥ 0. Решая эти два неравенства, получаем: (16 - x^2) ≤ 0 => x^2 ≥ 16 => x ≤ -4 или x ≥ 4 (x^2 - x - 12) ≥ 0 => (x - 4)(x + 3) ≥ 0 В результате получаем: -3 ≤ x ≤ 4.

   c) x > 4: В этом интервале все три множителя являются положительными числами, так как (16 - x^2) < 0 для x > 4, (x^2 + 4) > 0 для любого значения x, и (x^2 - x - 12) > 0 для x > 4 (так как оба множителя положительны в этом интервале). Таким образом, на этом интервале неравенство не выполняется.

Таким