Question

Помогите пожалуйста !!! Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y=cos x на отрезке [ - п/6 ; 3п/4]

Answer 1

Дана функция у=cosx
где у∈[-1;1]

Найдем наименьшее и наибольшее значение на отрезке [-π/6;3π/4]

- найдем точки экстемума

$\dispaystyle y`(x)=(cosx)`= -sinx\\-sinx=0\\x= \pi n; n\in Z$

при n=0 х=0 и лежит на нашем интервале. 
Значит х=0 точка экстремума  ( cos 0=1 - точка максимума)

больше точек экстремума на интервале нет
(при n=1 x=π. не попадает в интервал)

найдем минимум сравнив значения на концах интервала

$\dispaystyle cos(- \pi /6)= \frac{ \sqrt{3}}{2}\\cos( \frac{3 \pi }{4})=- \frac{ \sqrt{2} }{2}$

Значит точка минимума х= 3π/4

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции y = cos(x) на отрезке [-π/6; 3π/4], мы должны вычислить значения функции в концах отрезка и в критических точках внутри этого отрезка.

1. Вычисление значения функции в концах отрезка: Для x = -π/6: y = cos(-π/6) ≈ 0.866 Для x = 3π/4: y = cos(3π/4) ≈ -0.707

2. Вычисление критических точек: Найдем производную функции y = cos(x) и найдем значения x, где производная равна нулю.

   y' = -sin(x)

   Чтобы найти критические точки, приравняем y' к нулю и решим уравнение:

   -sin(x) = 0

   Отсюда получаем два значения: x₁ = 0 x₂ = π

   Теперь оценим значения функции в найденных критических точках: Для x = 0: y = cos(0) = 1 Для x = π: y = cos(π) = -1

Таким образом, наибольшее значение функции y = cos(x) на отрезке [-π/6; 3π/4] равно 1 и достигается при x = 0, а наименьшее значение равно -1 и достигается при x = π.