Question

Помогите с тригонометрическим уравнением, пожалуйста (1+cos2x)sin4x = sqrt(3)cos^2x

Answer 1

$(1+cos2x)*sin4x = \sqrt{3} cos^2x$
$[cos^2x= \frac{1+cos2x}{2} ]$
$2cos^2x*sin4x = \sqrt{3} cos^2x$
$cos^2x(2sin4x - \sqrt{3} )=0$
$2sin4x - \sqrt{3} =0$                                или        $cos^2x=0$
$sin4x= \frac{ \sqrt{3} }{2}$                                          или      $cosx=0$
$4x =(-1)^karcsin \frac{ \sqrt{3} }{2} + \pi k,$  $k$ ∈  $Z$     или      $x= \frac{ \pi }{2} + \pi n,$  $n$ ∈  $Z$
$4x =(-1)^k \frac{ \pi }{3} + \pi k,$  $k$ ∈  $Z$
$x =(-1)^k \frac{ \pi }{12} + \frac{\pi k}{4} ,$  $k$ ∈  $Z$

Answer 2

Конечно, я помогу вам решить это тригонометрическое уравнение. Давайте поэтапно решим его.

Начнем с упрощения уравнения. Заметим, что cos(2x) = 2cos^2(x) - 1 (это формула двойного угла для косинуса). Тогда уравнение можно переписать следующим образом:

(1 + 2cos^2(x) - 1)sin(4x) = sqrt(3)cos^2(x)

Упрощаем:

2cos^2(x)sin(4x) = sqrt(3)cos^2(x)

Делим обе части уравнения на cos^2(x) (заметим, что это возможно только при cos^2(x) ≠ 0):

2sin(4x) = sqrt(3)

Теперь, чтобы решить это уравнение, необходимо найти значения угла x, для которых выполняется равенство.

Делим обе части уравнения на 2:

sin(4x) = sqrt(3)/2

Теперь найдем углы, у которых синус равен sqrt(3)/2. Известно, что sin(π/3) = sqrt(3)/2.

Таким образом, получаем:

4x = π/3 + 2πk или 4x = 2π/3 + 2πk, где k - целое число.

Теперь делим оба решения на 4:

x = π/12 + (π/2)k или x = π/6 + (π/2)k, где k - целое число.

Вот и все возможные решения данного тригонометрического уравнения.