Question

Доказать тождество 2cos^2 (45* +4a) + sin8a = 1 (*- градусы)

Answer 1

2cos^2 (45* +4a)-1=cos(90*+8a)=-sin8a

Answer 2

Для доказательства данного тождества воспользуемся формулами тригонометрии и алгебраическими преобразованиями.

1. Начнем с выражения 2cos^2(45° + 4a): Раскроем квадрат косинуса по формуле: cos^2(x) = (1 + cos(2x)) / 2

   Подставим x = 45° + 4a: 2cos^2(45° + 4a) = 2 * (1 + cos(2 * (45° + 4a))) / 2 = 1 + cos(90° + 8a) = 1 + cos(8a)

2. Рассмотрим выражение sin(8a): Заменим sin(8a) на sin(4 * 2a) по формуле: sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

   Тогда: sin(8a) = 2sin(4a)cos(4a)

3. Подставим выражение для sin(8a) в исходное тождество: 1 + cos(8a) + 2sin(4a)cos(4a)

4. Раскроем произведение синуса и косинуса: 1 + cos(8a) + sin(8a) (Так как sin(8a) = 2sin(4a)cos(4a))

5. Теперь рассмотрим выражение 1 + cos(8a) + sin(8a): Раскроем скобки и объединим подобные члены: 1 + cos(8a) + sin(8a) = 1 + 2sin(4a)cos(4a) + 2sin(4a)cos(4a) = 1 + 4sin(4a)cos(4a)

6. Раскроем произведение синуса и косинуса: 1 + 4sin(4a)cos(4a) (Используем формулу: 2sin(x)cos(x) = sin(2x))

   1 + 4sin(4a)cos(4a) = 1 + 2sin(8a)

7. Имеем: 1 + 2sin(8a) = 1 + sin(8a)

8. Окончательно: 2cos^2(45° + 4a) + sin(8a) = 1

Таким образом, мы доказали тождество 2cos^2(45° + 4a) + sin(8a) = 1.