Question

Найдите пожалуйста все решения уравнения 2cos^(2)x=sinx+1, которые удовлетворяют неравенству П\2<x<П.

Answer 1

 Распишем cos по основному тождеству и получим: 2-2sin^2x-sinx-1=0;

-2sin^2x-sinx+1=0;

пусть sinx=t. тогда: 2t^2+t-1=0

D=1+8=9

t=1/2 t=-1

sinx=1/2 или sinx=-1 В первом случае x=п/6+2пn x=5п/6+2пn Где n целое число. Во втором случае x= -п/2+2пn где n целое число.

Чертим окружность. Отмечаем точки п/2 и п. Это наш промежуток. Туда попадает корень 5п/6. Это ответ. Остальные не попали.

Answer 2

Данное уравнение 2cos^2(x) = sin(x) + 1 может быть решено, приведя его к квадратному уравнению и нахождению его корней. Однако, для данного уравнения с учетом указанного неравенства, решение можно получить графически.

Начнем с приведения уравнения к квадратному виду. Заменим sin(x) на 1 - cos^2(x):

2cos^2(x) = 1 - cos^2(x) + 1

Упрощаем:

3cos^2(x) = 2

cos^2(x) = 2/3

cos(x) = ±√(2/3)

Теперь найдем значения x, удовлетворяющие условию 0 < x < π/2 и графически определим корни уравнения в данном интервале.

cos(x) = √(2/3) приближенно равно 0.8165 cos(x) = -√(2/3) приближенно равно -0.8165

Таким образом, в данном интервале уравнение имеет два решения:

x1 ≈ acos(0.8165) ≈ 0.6144 x2 ≈ acos(-0.8165) ≈ 2.5261

Итак, решения уравнения 2cos^2(x) = sin(x) + 1, удовлетворяющие условию π/2 < x < π, в указанном интервале (0 < x < π/2) являются:

x1 ≈ 0.6144 x2 ≈ 2.5261