Question

Функция y = 2x^2-5x+3. Подскажите, пожалуйста, как найти значения x, при которых функция принимает значения, больше 0? И ещё нужно найти промежутки возрастания и убывания функции (это по возможности, пожалуйста). Заранее БОЛЬШОЕ СПАСИБО!

Answer 1

$y=2x^2-5x+3\\\\1)\; \; y\ \textgreater \ 0\; \; \Rightarrow \; \; 2x^2-5x+3\ \textgreater \ 0\\\\D=25-4\cdot 2\cdot 3=1\; ,\; \; x_{1,2}= \frac{5\pm 1}{4}\; ,\\\\x_1=\frac{3}{2}=1,5\; \; ;\; \; x_2=1\\\\2(x-1,5)(x-1)\ \textgreater \ 0\\\\znaki\; \; y(x):\; \; +++(1)---(1,5)+++\\\\x\in (-\infty ;1)\cup (1,5\, ;+\infty )\\\\2)\; \; y'=4x-5=0\; \; ,\; \; x=\frac{5}{4}=1,25\\\\znaki\; \; y':\; \; ---(1,25)+++\\\\.\qquad \qquad \quad \searrow \; \; \; (1,25)\; \; \nearrow \\\\y(x)\; \; vozrastaet\; \; pri\; \; x\in (1,25\; ;+\infty )\\\\y(x)\; \; ybuvaet\; \; pri\; \; x\in (-\infty ;\, 1,25)$

Или без производных :
$y=2x^2-5x+3$  - парабола с вершиной в точке  $x=-\frac{b}{2a}=\frac{5}{2\cdot 2}=1,25$  .
Ветви параболы направлены вверх, т.к. а=2>0.  
Поэтому убывает у при $x\in (-\infty ;\; 1,25)$ 
и  возрастает при $x\in (1,25\; ;+\infty )$  .

Answer 2

Для найти значения x, при которых функция y = 2x^2 - 5x + 3 принимает значения больше 0 (положительные значения y), нужно решить неравенство y > 0.

1. Решение неравенства y > 0: Для этого решим квадратное уравнение 2x^2 - 5x + 3 = 0. Решив его, найдём корни x1 и x2.

   Используя квадратное уравнение, можем использовать формулу дискриминанта:

   D = b^2 - 4ac

   Где a = 2, b = -5 и c = 3. Подставляя значения:

   D = (-5)^2 - 4 * 2 * 3 = 25 - 24 = 1

   Так как D > 0, уравнение имеет два различных корня.

   Используем формулу для нахождения корней:

   x1 = (-b + √D) / (2a) = (-(-5) + √1) / (2 * 2) = (5 + 1) / 4 = 6 / 4 = 3 / 2 = 1.5

   x2 = (-b - √D) / (2a) = (-(-5) - √1) / (2 * 2) = (5 - 1) / 4 = 4 / 4 = 1

   Таким образом, получаем два корня: x1 = 1.5 и x2 = 1.

   Для того чтобы найти значения x, при которых функция принимает значения больше 0, нужно определить интервалы, где функция положительна. Для этого анализируем знаки функции на разных интервалах:

   • Интервал (-∞, x1): При подстановке значения x < 1 функция y = 2x^2 - 5x + 3 будет больше 0.

   • Интервал (x1, x2): При подстановке значения 1 < x < 1.5 функция y = 2x^2 - 5x + 3 будет меньше 0.

   • Интервал (x2, +∞): При подстановке значения x > 1.5 функция y = 2x^2 - 5x + 3 будет больше 0.

2. Промежутки возрастания и убывания функции: Для определения промежутков возрастания и убывания функции, необходимо проанализировать знак производной функции.

   Производная функции y = 2x^2 - 5x + 3: y' = 4x - 5

   Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, решим уравн