Question

Объясните как вычислить дифференциальное уравнение (1+y)dx=(x-1)dy

Answer 1

По принципу крест на крест. Иксы в одну сторону , игрики в другую. То есть все , где есть У(Игрики) оставляешь с левой части от знака равно, а остальное вправо. И решаешь интегралами.

Answer 2

Для решения дифференциального уравнения (1+y)dx=(x-1)dy, мы можем использовать метод разделяющих переменных. Этот метод основан на идее разделения переменных x и y по разные стороны уравнения и интегрирования обеих частей отдельно.

Шаг 1: Разделим переменные. Перенесем dy на одну сторону, а dx на другую:

(1+y)dx = (x-1)dy

Шаг 2: Разделим обе части на (1+y) и dy:

dx/(1+y) = dy/(x-1)

Шаг 3: Интегрируем обе части. Левую часть можно проинтегрировать по переменной x, а правую часть по переменной y:

∫dx/(1+y) = ∫dy/(x-1)

Шаг 4: Выполним интегрирование:

ln|1+y| = ln|x-1| + C

где C - постоянная интегрирования.

Шаг 5: Применим свойство логарифма, чтобы избавиться от натурального логарифма:

|1+y| = |x-1|e^C

Шаг 6: Используем свойства абсолютных значений. Заметим, что |1+y| всегда положительно, поэтому можем убрать модули:

1+y = (x-1)e^C

Шаг 7: Избавимся от константы e^C, заменив ее новой константой K:

1+y = K(x-1)

где K = e^C.

Это является общим решением дифференциального уравнения (1+y)dx=(x-1)dy. Если известны начальные условия (например, значения x и y в определенной точке), можно использовать их для определения значения константы K и получения конкретного решения.