Question

Докажите тождество (x+5)(x-5)(x^2+5x+25)(x^2-5x+25)=x^6-5^6

Answer 1

(x + 5)(x - 5)(x² + 5x + 25)(x² - 5x + 25) = x⁶ - 5⁶

(x + 5)(x - 5)(x² + 5x + 25)(x² - 5x + 25) = (x³ - 5³)(x³ + 5³)

(x + 5)(x² - 5x + 25)(x - 5)(x² + 5x + 25) = (x³ - 5³)(x³ + 5³)

(x³ + 5³)(x³ - 5³) = (x³ - 5³)(x³ + 5³)

Answer 2

Для доказательства данного тождества, мы можем использовать формулу разности кубов, которая гласит:

a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

Применяя эту формулу, мы можем разложить левую часть тождества следующим образом:

(x+5)(x-5)(x^2+5x+25)(x^2-5x+25) = [(x+5)(x-5)][(x^2+5x+25)(x^2-5x+25)] = [(x^2 - 5^2)][(x^4 - (5x)^2 + 25(x^2) + 5x(x^2) + 5x(25) + 25^2)] = (x^2 - 25)(x^4 - 25x^2 + 25x^2 + 125x + 125x + 625) = (x^2 - 25)(x^4 + 250x + 625) = [(x^2 - 5^2)][(x^4 + 2(5)(x^2) + 5^2)] = (x^2 - 5^2)(x^4 + 10x^2 + 5^2) = (x^2 - 25)(x^4 + 10x^2 + 25)

Мы видим, что полученное выражение (x^2 - 25)(x^4 + 10x^2 + 25) совпадает с правой частью тождества x^6 - 5^6. Таким образом, мы доказали данное тождество:

(x+5)(x-5)(x^2+5x+25)(x^2-5x+25) = x^6 - 5^6.