Question

Решите уравнение 2cos(pi/2-x)=tgx Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку (-2pi; -pi/2)

Answer 1

Решение прикрепил ниже.

Answer 2

Дано уравнение: 2cos(pi/2-x) = tg(x).

Для решения данного уравнения воспользуемся свойством тангенса и заменой cos(x) = sin(pi/2 - x):

2sin(x) = sin(x) / cos(x).

Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:

2sin(x) - sin(x) / cos(x) = 0.

Общий знаменатель можно получить, умножив первое слагаемое на cos(x):

2sin(x)cos(x) - sin(x) = 0.

Факторизуем уравнение:

sin(x)(2cos(x) - 1) = 0.

Теперь мы имеем два уравнения:

1. sin(x) = 0.
2. 2cos(x) - 1 = 0.

Решим первое уравнение:

sin(x) = 0.

Корни этого уравнения на промежутке (-2pi; -pi/2) будут x = -pi и x = -3pi/2.

Теперь решим второе уравнение:

2cos(x) - 1 = 0.

Прибавим 1 к обеим сторонам уравнения:

2cos(x) = 1.

Разделим обе стороны на 2:

cos(x) = 1/2.

Из таблицы значений косинуса известно, что cos(pi/3) = 1/2. Также известно, что cos(x) имеет период 2pi. Значит, на промежутке (-2pi; -pi/2) корнем уравнения будет x = -5pi/3.

Таким образом, все корни уравнения, принадлежащие промежутку (-2pi; -pi/2), равны x = -pi, x = -3pi/2 и x = -5pi/3.