Question

Найти площадь фигуры ограниченной функциями у=х^2,y=2x.через интеграл нужно решить

Answer 1

Построим график. Будет видно, что площадь надо искать на промежутке [0;2]. В данном случае 

f(x) = 2x

g(x) = x^2

Площадь данной фигуры находим по формуле

S = $\int\limits^b_a {(f(x) - g(x))} \, dx$

Теперь подставляем и находим

S = $\int\limits^2_0 {(2x - x^2)} \, dx = \frac{2x^2}{2} - \frac{x^3}{3} = x^2 - \frac{x^3}{3} = 2^2 - \frac{2^3}{3} = 4 - \frac{8}{3} = 1\frac{1}{3}$ ед^2

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной функциями у = х² и y = 2x, можно воспользоваться интегралом.

Сначала найдем точки пересечения функций. Приравняем уравнения и решим их:

х² = 2x

х² - 2x = 0

х(х - 2) = 0

Таким образом, получаем две точки пересечения: х = 0 и х = 2.

Теперь мы знаем, что нужно вычислить площадь между функциями в интервале от х = 0 до х = 2. Для этого можно взять интеграл функции верхней границы (в данном случае у = х²) и вычесть интеграл функции нижней границы (y = 2x).

Площадь фигуры можно найти следующим образом:

S = ∫[a,b] (верхняя функция - нижняя функция) dx

где a = 0 и b = 2.

S = ∫[0,2] (х² - 2x) dx

Вычислим этот интеграл:

S = ∫[0,2] (x² - 2x) dx

S = (∫[0,2] x² dx) - (∫[0,2] 2x dx)

Для нахождения каждого интеграла возьмем антипроизводную каждой функции и вычислим их значения на границах [0, 2]:

S = [(1/3)x³ - x²] [0,2] - [x²] [0,2]

S = [(1/3)(2)³ - (2)²] - [(2)² - (0)²]

S = [(8/3) - 4] - [4 - 0]

S = (8/3 - 4) - (4 - 0)

S = (8/3 - 4) - 4

S = 8/3 - 4 - 4

S = 8/3 - 8/3

S = 0

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной функциями y = x² и y = 2x, равна нулю.