Question

Решите подробно систему уравнений: x^2 +y^2 = 27 xy=6

Answer 1

$\left \{ {{x^2+y^2=27} \atop {xy=6}} \right.\; \left \{ {{x^2+2xy+y^2=27+2\cdot 6} \atop {y=6}} \right. \; \left \{ {{(x+y)^2=39} \atop {xy=6}} \right. \; \left \{ {{x+y=\pm \sqrt{39}} \atop {xy=6\; \; \; }} \right.\\\\1)\; \; x+y=\sqrt{39}\; ,\; \; y=x-\sqrt{39}\; ,\\\\x(x-\sqrt{39})=6\; ,\; \; x^2-x\sqrt{39}-6=0\; ,\; \; D=39+24=63\; ,\\\\x_1=\frac{\sqrt{39}-\sqrt{63}}{2}=\frac{\sqrt3\cdot (\sqrt{13}-\sqrt{21})}{2}\; ,\; \; x_2=\frac{\sqrt{39}+\sqrt{63}}{2}=\frac{\sqrt3\cdot (\sqrt{13}+\sqrt{21})}{2}$

$y_1=x_1-\sqrt{39}=\frac{\sqrt{39}-\sqrt{63}}{2}-\sqrt{39}=-\frac{\sqrt{39}+\sqrt{63}}{2}=-\frac{\sqrt3\cdot (\sqrt{13}+\sqrt{21})}{2}\\\\y_2=x_2-\sqrt{39}=\frac{\sqrt{39}+\sqrt{63}}{2}-\sqrt{39}=\frac{-\sqrt{39}+\sqrt{63}}{2}=\frac{\sqrt3\cdot (\sqrt{21}-\sqrt{13})}{2}\\\\2)\; \; x+y=-\sqrt{39}\; \; ,\; \; y=-x-\sqrt{39}\\\\x(-x-\sqrt{39})=6\; \; ,\; \; x^2+x\sqrt{39}+6=0\; ,\; \; D=39-24=15\; ,\\\\x_1=\frac{-\sqrt{39}-\sqrt{15}}{2}=-\frac{\sqrt3\cdot (\sqrt{13}+\sqrt5)}{2}\; ,\; \; x_2=\frac{-\sqrt{39}+\sqrt{15}}{2}=\frac{\sqrt3\cdot (\sqrt5-\sqrt{13})}{2}$

$y_1=-x_1-\sqrt{39}=\frac{\sqrt{39}+\sqrt{15}}{2}-\sqrt{39}=\frac{-\sqrt{39}+\sqrt{15}}{2}=\frac{\sqrt3\cdot (\sqrt5-\sqrt{13})}{2}\\\\y_2=-x_2-\sqrt{39}=\frac{\sqrt{39}-\sqrt{15}}{2}-\sqrt{39}=\frac{-\sqrt{39}-\sqrt{15}}{2}=-\frac{\sqrt3\cdot (\sqrt5+\sqrt{13})}{2}\\\\Otvet:\; \; \Big (\frac{\sqrt3\cdot (\sqrt{13}-\sqrt{21})}{2}\, ;\, -\frac{\sqrt3\cdot (\sqrt{13}+\sqrt{21})}{2}\Big )\; ,\; \Big (\frac{\sqrt3\cdot (\sqrt{13}+\sqrt{21})}{2}\, ,\, \frac{\sqrt3\cdot (\sqrt{21}-\sqrt{13})}{2}\Big )\; ,$

$\Big (-\frac{\sqrt3\cdot (\sqrt{5}+\sqrt{13})}{2}\, ,\, \frac{\sqrt3\cdot (\sqrt5-\sqrt{13})}{2}\Big )\; ,\; \Big (\frac{\sqrt3\cdot (\sqrt5-\sqrt{13})}{2}\, ,\, -\frac{\sqrt3\cdot (\sqrt5+\sqrt{13})}{2}\Big )\, .$

Answer 2

Для решения данной системы уравнений можно использовать метод подстановки или метод исключения. Давайте воспользуемся методом подстановки.

1. Начнем с первого уравнения: x^2 + y^2 = 27.

   Разрешим его относительно одной из переменных, например, x^2 = 27 - y^2.

2. Подставим это значение во второе уравнение: xy = 6.

   Получим (27 - y^2)y = 6.

3. Раскроем скобки: 27y - y^3 = 6.

4. Перенесем все слагаемые в одну сторону уравнения: y^3 - 27y + 6 = 0.

5. Мы получили уравнение третьей степени. Для его решения мы можем воспользоваться численными методами или графическим методом, чтобы найти значения y.

   Применяя численные методы или графический метод, мы найдем три корня этого уравнения: y1 ≈ -2.095, y2 ≈ 0.534 и y3 ≈ 9.561.

6. Подставим найденные значения y обратно в первое уравнение: x^2 + y^2 = 27.

   Для y1: x^2 + (-2.095)^2 = 27. Решая это уравнение, получаем два значения для x: x1 ≈ -3.606 и x2 ≈ 3.606. Для y2: x^2 + (0.534)^2 = 27. Решая это уравнение, получаем два значения для x: x3 ≈ -5.196 и x4 ≈ 5.196. Для y3: x^2 + (9.561)^2 = 27. Решая это уравнение, получаем два значения для x: x5 ≈ -9.527 и x6 ≈ 9.527.

Таким образом, система уравнений имеет шесть решений:

1. x1 ≈ -3.606, y1 ≈ -2.095.
2. x2 ≈ 3.606, y1 ≈ -2.095.
3. x3 ≈ -5.196, y2 ≈ 0.534.
4. x4 ≈ 5.196, y2 ≈ 0.534.
5. x5 ≈ -9.527, y3 ≈ 9.561.
6. x6 ≈ 9.527, y3 ≈ 9.561.