Question

Найдите точку минимума(x-2)^2(2x+3)+5

Answer 1

$y=(x-2)^2(2x+3)+5=(x^2-4x+4)(2x+3)+5= \\ =2x^3+3x^2-8x^2-12x+8x+12+5=2x^3-5x^2-4x+17 \\ \\ y'=6x^2-10x-4 \\ 6x^2-10x-4=0 \\ \\ 3x^2-5x-2=0 \\ D=25+24=49 \\ x= \frac{{5+-7 } }{6} = \left \{ {{x_1=- \frac{1}{3} } \atop {x_2=2}} \right.$

       +                 -                +
--------------|--------------------|----------------->x
           -1/3                  2

Ответ: точка минимума х=2

Answer 2

Чтобы найти точку минимума функции, необходимо найти значение x, при котором производная функции равна нулю. Давайте проделаем это для данной функции.

Сначала раскроем скобки: f(x) = (x-2)^2(2x+3) + 5 = (x^2 - 4x + 4)(2x + 3) + 5 = 2x^3 - 5x^2 - 2x + 3x^2 + 8x + 4 + 5 = 2x^3 - 2x^2 + 6x + 9

Теперь найдем производную функции: f'(x) = 6x^2 - 4x + 6

Установим производную равной нулю и решим уравнение: 6x^2 - 4x + 6 = 0

Для решения этого квадратного уравнения можно воспользоваться формулой дискриминанта: D = b^2 - 4ac

где a = 6, b = -4 и c = 6.

D = (-4)^2 - 4 * 6 * 6 = 16 - 144 = -128

Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение не имеет вещественных корней. Это означает, что у функции нет точки минимума или максимума на всей числовой прямой.

Однако, можно применить методы анализа функций и графики, чтобы понять ее поведение в близкой окрестности или использовать численные методы для приближенного нахождения точки минимума.