Question

Доведіть, що сума кубів трьох послідовних натуральних чисел ділиться на 9.

Answer 1

(х+ 1)³+ (х + 2)³+ (х+ 3)³ = (х+ 1)³ + (х+ 2)³+х³ + 27х+ 9х² + 27 = 
= 9х + 27х + 9х² + 27 = 9(х + 3х + х² + 3) 
 все делится на 9, и мы заключаем, что утверждение верно для любого х

Answer 2

Для доведення цього твердження скористаємось методом математичної індукції.

Крок 1: Перевірка для початкового значення. Перевіримо, чи справедлива ця властивість для найменшого можливого значення, тобто для числа 1. 1^3 = 1, що очевидно ділиться на 9, оскільки 9 помножене на будь-яке ціле число дорівнює 9, 18, 27 і т. д.

Крок 2: Передположення. Припустимо, що сума кубів трьох послідовних натуральних чисел ділиться на 9 для довільного цілого числа n, тобто n^3 + (n+1)^3 + (n+2)^3 ділиться на 9.

Крок 3: Доведення за допомогою індукції. Треба довести, що твердження виконується для n+1, тобто для виразу (n+1)^3 + (n+2)^3 + (n+3)^3.

Розглянемо суму кубів трьох послідовних натуральних чисел: (n+1)^3 + (n+2)^3 + (n+3)^3 = (n^3 + 3n^2 + 3n + 1) + (n^3 + 6n^2 + 12n + 8) + (n^3 + 9n^2 + 27n + 27) = 3n^3 + 18n^2 + 30n + 36.

За припущенням, сума кубів трьох послідовних натуральних чисел n^3 + (n+1)^3 + (n+2)^3 ділиться на 9. Отже, можна записати: n^3 + (n+1)^3 + (n+2)^3 = 9k, де k - ціле число.

Підставимо це значення в вираз для (n+1)^3 + (n+2)^3 + (n+3)^3: 3n^3 + 18n^2 + 30n + 36 = 9k 3(n^3 + 6n^2 + 10n + 12) = 9k n^3 + 6n^2 + 10n + 12 = 3k.

Отриманий вираз можна поділити на 3 без остачі, що означає, що сума кубів трьох послідовних натуральних чисел для n+1 також ді