Question

Помогите решить третье или седьмое однородное ду

Answer 1

Беру третий пример :)

$y=x(y'- \sqrt[x]{e^y} )$

Убедимся, что данное дифференциальное уравнение является однородным.
Воспользуемся условием однородности

$\lambda y=\lambda x(y'- \sqrt[\lambda x]{e^{y\lambda }} )\\ \\ y=x(y'- \sqrt[x]{e^y} )$

Итак, данное дифференциальное уравнение является однородным.

Пусть $y=ux$, тогда $y'=u'x+u$ будем иметь

$ux=x(u'x+u-e^u)\\ \\ u=u'x+u-e^u\\ \\ u'x=e^u$

Получили уравнение с разделяющимися переменными.

$\frac{du}{dx} = \frac{e^u}{x} \\ \\ e^{-u}du= \frac{dx}{x}$

Интегрируя обе части уравнения, имеем

$-e^{-u}=\ln|x|+C$

Обратная замена

$-e^{- \frac{y}{x} }=\ln|x|+C$ - общий интеграл и ответ