Question

радиус некоторой планеты в корень2 раз меньше радиуса Земли, а ускорение силы тяжести на поверхности планеты в 3 раза меньше, чем на поверхности Земли. Во сколько раз масса планеты меньше массы Земли?

Answer 1

Радиус данной планеты в корень из 2 раза меньше радиуса Земли, а ускорение силы тяжести на ее поверхности в 3 раза меньше, чем на поверхности Земли.

Ускорение связано с массой планеты и её радиусом через закон всемирного тяготения Ньютона:

\[g = \frac{{G \cdot M}}{{r^2}}\]

Где: - \(g\) - ускорение силы тяжести, - \(G\) - гравитационная постоянная, - \(M\) - масса планеты, - \(r\) - радиус планеты.

Сравнивая ускорение на поверхности планеты и Земли, можно составить отношение:

\[\frac{{g_{\text{планеты}}}}{{g_{\text{Земли}}}} = \frac{{\frac{{G \cdot M_{\text{планеты}}}}{{r_{\text{планеты}}^2}}}}{{\frac{{G \cdot M_{\text{Земли}}}}{{r_{\text{Земли}}^2}}}}\]

Условие говорит о том, что ускорение на поверхности планеты в 3 раза меньше, чем на Земле:

\[\frac{{g_{\text{планеты}}}}{{g_{\text{Земли}}}} = \frac{1}{3}\]

Также известно, что радиус данной планеты в корень из 2 раза меньше радиуса Земли:

\[\frac{{r_{\text{планеты}}}}{{r_{\text{Земли}}}} = \sqrt{2}\]

Теперь можно связать массы планеты и Земли:

\[\frac{{M_{\text{планеты}}}}{{M_{\text{Земли}}}} = \frac{{g_{\text{планеты}} \cdot r_{\text{планеты}}^2}}{{g_{\text{Земли}} \cdot r_{\text{Земли}}^2}}\]

Из условий:

\[\frac{{M_{\text{планеты}}}}{{M_{\text{Земли}}}} = \frac{{\frac{1}{3} \cdot (\sqrt{2} \cdot r_{\text{Земли}})^2}}{{1 \cdot r_{\text{Земли}}^2}}\]

Упрощая:

\[\frac{{M_{\text{планеты}}}}{{M_{\text{Земли}}}} = \frac{2 \cdot r_{\text{Земли}}^2}}{{3 \cdot r_{\text{Земли}}^2}} = \frac{2}{3}\]

Таким образом, масса данной планеты в \(2/3\) массы Земли.