Question

При смещении точки от положения равновесия 4 см скорость точки 6 см/с а при смещении 3 см скорость точки 8см/с. Найдите амплитуду колебаний(в см)

Answer 1

X=A*sin(wt)
x`=A*w*cos(wt)
4^2+6^2/w^2 = A^2
3^2+8^2/w^2 = A^2
***************
3^2+8^2/w^2=4^2+6^2/w^2
3^2+8^2/w^2=A^2
**************
9+64/w^2=16+36/w^2
9+64/w^2=A^2
**************
(64-36)*1/w^2=16-9
9+64/w^2=A^2
**************
1/w^2=(16-9)/(64-36)= 0,25
9+64* 0,25 =A^2= 25
**************
А=5 - это ответ

Answer 2

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться формулой для гармонических колебаний.

Для гармонических колебаний справедливо следующее уравнение:

\[ x(t) = A \cdot \cos(\omega t + \phi), \]

где: - \( x(t) \) - координата точки в момент времени \( t \), - \( A \) - амплитуда колебаний, - \( \omega \) - угловая частота колебаний, - \( \phi \) - начальная фаза.

Производная координаты по времени равна скорости точки:

\[ v(t) = -A \cdot \omega \cdot \sin(\omega t + \phi). \]

Мы знаем, что при смещении точки на 4 см скорость составляет 6 см/с, а при смещении на 3 см скорость составляет 8 см/с.

1. При смещении на 4 см: \[ v_1 = -A \cdot \omega \cdot \sin(\phi) = 6 \, \text{см/с}. \]

2. При смещении на 3 см: \[ v_2 = -A \cdot \omega \cdot \sin(\phi) = 8 \, \text{см/с}. \]

Теперь давайте поделим уравнения друг на друга:

\[ \frac{v_1}{v_2} = \frac{-A \cdot \omega \cdot \sin(\phi)}{-A \cdot \omega \cdot \sin(\phi)} = \frac{6}{8}. \]

Сократим и решим уравнение:

\[ \frac{3}{4} = \frac{\sin(\phi_1)}{\sin(\phi_2)}. \]

Теперь мы можем воспользоваться тригонометрической тождеством, связывающим синусы углов, чтобы определить отношение амплитуд:

\[ \frac{3}{4} = \frac{\sin(\phi_1)}{\sin(\phi_2)} = \frac{\cos(\phi_2)}{\cos(\phi_1)}. \]

Таким образом, у нас есть система уравнений:

\[ \frac{3}{4} = \frac{\cos(\phi_2)}{\cos(\phi_1)}, \] \[ \frac{3}{4} = \frac{\sin(\phi_1)}{\sin(\phi_2)}. \]

Решая эту систему уравнений, можно найти значения \( \phi_1 \) и \( \phi_2 \).

После нахождения значений \( \phi_1 \) и \( \phi_2 \) можно воспользоваться первым уравнением \( v_1 = -A \cdot \omega \cdot \sin(\phi) \) для определения амплитуды \( A \).