Question

Определить первую космическую скорость на планете Плутон. Радиус Плутона 1200 км. Ускорение свободного падения на Плутоне 0,6 м/с2.

Answer 1

Для достижения 1ой космической скорости, нужно достигнуть такого нормального ускорения, чтобы сила притяжения и сила инерции этого нормального ускорения были равны, то есть минимальную силу отдаления от планеты => ускорение тела равно 0

ma=0=Fпритяжения-Fинерции

$\frac{mV^2}{R}=G\frac{mM}{R^2}; V=\sqrt{\frac{GM}{R}}$

Для нахождения GM поработаем с ускорением свободного падения на данной планете:

$mg=G\frac{mM}{R^2}; GM=gR^2$

Подставив:

$V=\sqrt{\frac{gR^2}{R}}=\sqrt{gR}=\sqrt{0,6*1200*1000}~=848,53$

Ответ: 848,53 м/с или 0,85 км/с

*Всегда проверяйте единицы измерения конечного измерения, подставив вместо переменных их единицы измерения, например m*g приобретёт вид кг*м/с^2. Например, в вашем примере V^2=gR. Проверяем: м^2/c^2 = м/c^2*м=м^2/c^2

Answer 2

Первая космическая скорость - это минимальная скорость, необходимая для преодоления притяжения планеты и выхода в открытый космос без дополнительной тяги. Формула для расчета первой космической скорости \(v\) на поверхности планеты:

\[ v = \sqrt{\frac{{2 \cdot G \cdot M}}{{r}}} \]

Где: - \( G \) - постоянная гравитационного притяжения (\(6.674 \times 10^{-11}\, \text{м}^3/\text{кг} \cdot \text{с}^2\)), - \( M \) - масса планеты, - \( r \) - радиус планеты.

Начнем с расчета массы Плутона. Нам дан радиус Плутона (\(r = 1200\) км) и ускорение свободного падения на его поверхности (\(g = 0.6\, \text{м/с}^2\)).

Сначала нужно выразить массу планеты через ускорение свободного падения и радиус:

\[ g = \frac{{G \cdot M}}{{r^2}} \] \[ M = \frac{{g \cdot r^2}}{{G}} \]

Подставим известные значения:

\[ M = \frac{{0.6\, \text{м/с}^2 \cdot (1200 \times 10^3\, \text{м})^2}}{{6.674 \times 10^{-11}\, \text{м}^3/\text{кг} \cdot \text{с}^2}} \]

Вычислим массу Плутона:

\[ M = \frac{{0.6 \cdot (1.44 \times 10^9)}}{{6.674 \times 10^{-11}}} \] \[ M \approx \frac{{8.64 \times 10^8}}{{6.674 \times 10^{-11}}} \] \[ M \approx 1.295 \times 10^{19}\, \text{кг} \]

Теперь, когда у нас есть масса Плутона, мы можем вычислить первую космическую скорость \(v\):

\[ v = \sqrt{\frac{{2 \cdot G \cdot M}}{{r}}} \] \[ v = \sqrt{\frac{{2 \cdot 6.674 \times 10^{-11}\, \text{м}^3/\text{кг} \cdot \text{с}^2 \cdot 1.295 \times 10^{19}\, \text{кг}}}{{1200 \times 10^3\, \text{м}}}} \]

Вычислим \(v\):

\[ v = \sqrt{\frac{{2 \cdot 6.674 \times 1.295}}{{1200}}} \] \[ v = \sqrt{\frac{{17.2543}}{{1200}}} \] \[ v \approx \sqrt{0.01438} \] \[ v \approx 0.12\, \text{м/с} \]

Таким образом, первая космическая скорость на Плутоне составляет примерно 0.12 м/с.