Question

Сопротивление каждого из проводников, соединённых в квадрат, и проводников, образующих диагонали квадрата, равно r. Определите эквивалентное сопротивление при подключении источника тока: 1) к соседним вершинам; 2) к вершинам, лежащим на одной диагонали. В точке пересечения диагоналей контакта нет.

Answer 1

Смотрите решение на фотографии.

Answer 2

Данная задача связана с расчетом эквивалентного сопротивления сети проводников, соединенных в определенную геометрическую форму. В данном случае рассматривается квадрат, где проводники соединены между собой и образуют как сам квадрат, так и его диагонали.

Расчет сопротивления между соседними вершинами квадрата

Для расчета эквивалентного сопротивления между соседними вершинами квадрата, можно представить себе схему, где каждый проводник между вершинами заменен на резистор сопротивлением r. Такая схема будет иметь вид:

      r       r
  o---[ ]---[ ]---o
  |       |       |
  r       r       r
  |       |       |
  o---[ ]---[ ]---o
  |       |       |
  r       r       r

Поскольку каждый резистор имеет одинаковое значение r, можно использовать закон сопротивлений параллельных соединений для нахождения эквивалентного сопротивления между вершинами квадрата.

В данном случае, между каждой парой соседних вершин будет соединено два резистора, поэтому можно применить формулу для двух параллельно соединенных резисторов:

1 / R_eq = 1 / r + 1 / r

Упрощая выражение, получим:

1 / R_eq = 2 / r

Инвертируем выражение и получим:

R_eq = r / 2

Таким образом, эквивалентное сопротивление между соседними вершинами квадрата равно половине значения r.

Расчет сопротивления между вершинами, лежащими на одной диагонали

Для расчета эквивалентного сопротивления между вершинами, лежащими на одной диагонали квадрата, можно использовать аналогичный подход. В данном случае, проводники образуют две параллельно соединенные цепи, которые можно представить следующим образом:

      r       r
  o---[ ]---[ ]---o
  |   /   \   /   |
  r  r     r r    r
  | /       \     |
  o---[ ]---[ ]---o
  |       |       |
  r       r       r

Снова применяем закон сопротивлений параллельных соединений и получаем:

1 / R_eq = 1 / r + 1 / (2r)

Упрощая выражение, получим:

1 / R_eq = 2 / (2r) + 1 / (2r)

Инвертируем выражение и получим:

R_eq = 2r / 3

Таким образом, эквивалентное сопротивление между вершинами, лежащими на одной диагонали квадрата, равно двум третьим значения r.

Резюме

Итак, для заданной конфигурации проводников в квадрате, эквивалентное сопротивление при подключении источника тока будет следующим:

1) Между соседними вершинами: R_eq = r / 2 2) Между вершинами, лежащими на одной диагонали: R_eq = 2r / 3

При этом, важно отметить, что в точке пересечения диагоналей квадрата контакта нет, поэтому необходимо учитывать только сопротивления между соединенными вершинами.