Question

Две одинаковые гладкие, упругие шайбы движутся по гладкой горизонтальной поверхности навстречу друг другу со скоростями V и 2V. Найти отношений кинетических энергий шайб после удара

Answer 1

1) выполним чертеж, предположив, что шайбы после соударения покатятся в сторону движения шайбы с большим импульсом (вроде бы логично, но выяснится, что это не так). смотрите приложение

2) напишем закон сохранения импульса и энергии, учитывая, что импульс - величина векторная, а энергия - скалярная (решаю в общем виде, ибо иначе получается нехороший результат)

m v2 - m v1 = m v1' + m v2' (!)
(m v1²)/2 + (m v2²)/2 = (m v1'²)/2 + (m v2'²)/2

перепишем в виде

v2 - v2' = v1 + v1'
v2² - v2'² = -v1² + v1'²

разделим второе уравнение на первое

v2 + v2' = -v1 + v1'. тогда

v2' = v1' - v1 - v2

с другой стороны, из уравнения (!) мы можем получить, что

v2' = v2 - v1 - v1'

приравнивая выражения v2' получаем, что

v1' = v2 = 2v

тогда нетрудно получить, что

v2' = -v1 = -v (следовательно, шайба изменила направление движения)

соответственно, отношение кинетических энергий шайб равно

Ek1/Ek2 = v1'²/v2'² = 4.

Answer 2

Problem Statement

Две одинаковые гладкие, упругие шайбы движутся по гладкой горизонтальной поверхности навстречу друг другу со скоростями V и 2V. Найти отношение кинетических энергий шайб после удара.

Solution

Для решения данной задачи, мы можем использовать законы сохранения импульса и энергии.

1. Закон сохранения импульса: - Перед ударом, общий импульс системы шайб равен сумме импульсов каждой шайбы: m1 * V + m2 * (-2V) = 0. - После удара, общий импульс системы шайб также должен быть равен нулю: m1 * v1 + m2 * v2 = 0, где v1 и v2 - скорости шайб после удара.

2. Закон сохранения энергии: - Перед ударом, кинетическая энергия системы шайб равна сумме кинетических энергий каждой шайбы: (1/2) * m1 * V^2 + (1/2) * m2 * (2V)^2. - После удара, кинетическая энергия системы шайб также должна быть сохранена: (1/2) * m1 * v1^2 + (1/2) * m2 * v2^2.

Мы можем использовать эти два уравнения для нахождения отношения кинетических энергий шайб после удара.

Solution Steps

1. Решим уравнение сохранения импульса для нахождения v1 и v2. 2. Подставим найденные значения v1 и v2 в уравнение сохранения энергии. 3. Найдем отношение кинетических энергий шайб после удара.

Solution Details

1. Решение уравнения сохранения импульса: - Из уравнения m1 * V + m2 * (-2V) = 0 получаем, что m1 * V = 2 * m2 * V. - Делим обе части уравнения на V: m1 = 2 * m2. - Таким образом, масса первой шайбы в два раза больше массы второй шайбы: m1 = 2 * m2.

2. Подстановка найденных значений в уравнение сохранения энергии: - Из уравнения (1/2) * m1 * V^2 + (1/2) * m2 * (2V)^2 получаем, что (1/2) * m1 * V^2 + (1/2) * m2 * 4V^2. - Подставляем значение m1 = 2 * m2: (1/2) * (2 * m2) * V^2 + (1/2) * m2 * 4V^2. - Упрощаем выражение: m2 * V^2 + 2 * m2 * V^2. - Получаем: 3 * m2 * V^2.

3. Нахождение отношения кинетических энергий шайб после удара: - Из уравнения сохранения энергии, мы получили, что кинетическая энергия системы шайб после удара равна 3 * m2 * V^2. - Отношение кинетических энергий шайб после удара можно записать как: (3 * m2 * V^2) / ((1/2) * m1 * V^2 + (1/2) * m2 * 4V^2). - Подставляем значение m1 = 2 * m2: (3 * m2 * V^2) / ((1/2) * (2 * m2) * V^2 + (1/2) * m2 * 4V^2). - Упрощаем выражение: (3 * m2 * V^2) / (m2 * V^2 + 2 * m2 * V^2). - Сокращаем m2 * V^2: (3) / (1 + 2). - Получаем: 1.

Answer

Отношение кинетических энергий шайб после удара равно 1.