Question

Небольшое тело соскальзывает по наклонной плоскости, плавно переходящей в "мертвую петлю", с высоты 6 м. радиус петли равен 3 м. На какой высоте тело оторвется от поверхности петли? Высота отсчитывается от нижней точки петли. трением пренебречь.

Answer 1

Как всегда, "условие отрыва" означает, что "сила реакции поверхности" равна нулю. Тело больше не давит на поверхность петли и движется только под действием силы тяжести. При этом оно продолжает (в данный момент времени) двигаться по окружности радиуса R. Из этого всё и получается.
Если угол между радиусом, проведенным в точку отрыва, и вертикалью, обозначить, как α, то из закона сохранения энергии
m*v^2/2 + mgR(1+cos(α)) = mgh;
или m*v^2/R  = 2mg(h/R - 1 - cos(α));
Поскольку в момент отрыва "центростремительное" ускорение равно состовляющей силы тяжести вдоль радиуса, то есть mgcos(α) (это просто второй закон Ньютона, записанный в проекции на линию, соединяющую точку отрыва с центром петли - масса*ускорение = сила, ускорение вдоль этой линии равно v^2/R, а единственная сила, действующая на тело в этот момент - это сила тяжести, равная mg и направленная вертикально вниз).
mgcos(α) = 2mg(h/R - 1 - cos(α)); 
cos(α) = (2/3)*(h/R - 1); это и есть условие отрыва. При этом тело будет находиться на высоте R*(1 + cos(α)) = 2h/3 + R/3; это 5м.

Answer 2

Calculation of the Height at which the Object Detaches from the Surface of the Loop

To calculate the height at which the object detaches from the surface of the loop, we can use the principle of conservation of mechanical energy. Since there is no friction involved, the total mechanical energy of the object is conserved throughout its motion.

Let's denote the initial height of the object as h (6 m in this case) and the radius of the loop as R (3 m in