Question

Энергия колебаний одной системы в 10 раз больше, чем другой, но коэффициент жесткости первой системы в 4 раза больше, чем второй. Определите отношение амплитуд колебаний этих систем

Answer 1

W1/W2=10     k1/k2=4    A1/A2=?

W1/W2=k1*A1²/(k2*A2²)

A1/A2=√(10/4)=1.58 раз

================

Answer 2

Давайте разберёмся. Отношение амплитуд колебаний двух систем можно определить, учитывая их энергию и коэффициенты жесткости.

Пусть \(E_1\) и \(E_2\) обозначают энергию системы 1 и системы 2 соответственно, \(k_1\) и \(k_2\) - их коэффициенты жесткости, \(A_1\) и \(A_2\) - амплитуды колебаний для систем 1 и 2.

Известно, что энергия колебаний системы пропорциональна квадрату амплитуды:

\[E = \frac{1}{2} k A^2,\]

где \(k\) - коэффициент жесткости, \(A\) - амплитуда колебаний.

Также известно, что энергия системы 1 в 10 раз больше, чем у системы 2:

\[E_1 = 10 \cdot E_2.\]

И коэффициент жесткости первой системы в 4 раза больше, чем у второй:

\[k_1 = 4 \cdot k_2.\]

Теперь давайте выразим энергию через коэффициент жесткости и амплитуду:

\[E_1 = \frac{1}{2} k_1 A_1^2,\] \[E_2 = \frac{1}{2} k_2 A_2^2.\]

Используем соотношение между \(E_1\) и \(E_2\):

\[\frac{1}{2} k_1 A_1^2 = 10 \cdot \frac{1}{2} k_2 A_2^2.\]

Теперь у нас есть \(k_1\) и \(k_2\) в соотношении 4:1:

\[\frac{1}{2} (4 \cdot k_2) A_1^2 = 10 \cdot \frac{1}{2} k_2 A_2^2.\]

Сокращаем на \(2\) и упрощаем:

\[2 \cdot k_2 A_1^2 = 10 \cdot k_2 A_2^2.\]

Теперь можно сократить на \(k_2\) (если \(k_2\) не равно нулю):

\[2 \cdot A_1^2 = 10 \cdot A_2^2.\]

Из этого можно найти отношение амплитуд:

\[\frac{A_1}{A_2} = \sqrt{\frac{10}{2}} = \sqrt{5} \approx 2.236.\]

Итак, отношение амплитуд колебаний первой системы к второй примерно равно \(2.236\) или примерно \(\sqrt{5}\).