Question

Определите период обращения искусственного спутника Земли по круговой орбите,если он находится на высоте 1600 км на ее поверхностью.Радиус Земли равен 6400 км

Answer 1

ПЕРВЫЙ СПОСОБ.

Спутник движется по круговой орбите, а значит имеет постоянное центростремительное ускорение, определяемое гравитацией. Обозначим радиус Земли, как R, высоту на Землёй, как H и r=R+H :

Сила притяжения:

F = GMm/r² = (GMm/R²) R²/r² = mgR²/r² ;

Центростремительное ускорение:

F/m = a = v²/r ;

gR²/r² = v²/r ;

r²/v² = r³/[gR²] ;

T² = (2πr/v)² = 4π²r³/[gR²] ;

T = 2πr/R √[r/g] = 2π/R √[(R+H)³/g] ;

T = 2π/R √[(R+H)³/g] ≈ [ π / 3 200 000 ] √[( 6 400 000 + 1 600 000 )³ / 9.8 ] ≈
≈ [ 5 000 π / 7 ] √10 ≈ 7100 сек ≈ 118 мин ≈ 1 час и 58 мин ;





ВТОРОЙ СПОСОБ:

Первая космическая скорость (околоземные спутники) равна VI = √[Rg] ;

Период околоземного спутника:

TI = 2πR/VI = 2πR/√[Rg] = 2π√[R/g] ;

По закону Кеплера для единого гравитационного центра верно, что:

T²/TI² = r³/R³ ;

T² = r³/R³ TI² = 4π² [r³/R³]*[R/g] = 4π²r³/[gR²] ;

T = 2πr/R √[r/g] = 2π/R √[(R+H)³/g] ;

T = 2π/R √[(R+H)³/g] ≈ [ π / 3 200 000 ] √[( 6 400 000 + 1 600 000 )³ / 9.8 ] ≈
≈ [ 5 000 π / 7 ] √10 ≈ 7100 сек ≈ 118 мин ≈ 1 час и 58 мин .

Answer 2

Период обращения искусственного спутника вокруг Земли можно определить с использованием закона всемирного тяготения Ньютона. Формула для расчета периода обращения (T) выглядит следующим образом:

\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{a^3}{GM}} \]

где: - \( T \) - период обращения, - \( \pi \) - математическая константа (приблизительно 3.14159), - \( a \) - большая полуось орбиты (в данном случае среднее расстояние между центром Земли и спутником), - \( G \) - гравитационная постоянная (приблизительно \(6.674 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/\text{кг} \cdot \text{с}^2\)), - \( M \) - масса Земли.

Для орбиты с высотой \( h \) над поверхностью Земли, большая полуось \( a \) выражается как сумма радиуса Земли \( R \) и высоты орбиты \( h \):

\[ a = R + h \]

В данном случае \( R = 6400 \, \text{км} \) и \( h = 1600 \, \text{км} \).

Теперь мы можем подставить значения в формулу:

\[ a = 6400 \, \text{км} + 1600 \, \text{км} = 8000 \, \text{км} \]

\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{(8000 \, \text{км})^3}{6.674 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/\text{кг} \cdot \text{с}^2 \cdot (5.972 \times 10^{24} \, \text{кг})}} \]

Теперь давайте проведем несколько преобразований единиц, чтобы получить результат в секундах. 1 км = \(10^3\) м, поэтому \(8000 \, \text{км} = 8 \times 10^6 \, \text{м}\). Также, 1 кг = \(10^3\) г, поэтому \(5.972 \times 10^{24} \, \text{кг} = 5.972 \times 10^{27} \, \text{г}\).

\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{(8 \times 10^6 \, \text{м})^3}{6.674 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/\text{кг} \cdot \text{с}^2 \cdot (5.972 \times 10^{27} \, \text{г})}} \]

Теперь можем вычислить значение \(T\). Пожалуйста, используйте калькулятор для выполнения этих вычислений.