Question

средняя плотность некоторой планеты равна средней плотности планеты земля, а радиус планеты в 2 раза больше земного радиуса.Определите отношение первой космической скорости на планете к первой космической скорости на земле Vп/Vз

Answer 1

Первая космическая скорость
V=sqrt(GM/R)
Пусть р-плотность планеты,тогда массу можно выразить через объём (планету считаем шаром) M=pU=p*4/3*П*R^3;
для земли : Vз=sqrt((G*4/3*П*R^3*p)/R)=sqrt(4П*G*R^2*p/3),
для планеты: Vпл=sqrt((G*4/3*П*R^3/8*p)/(R/2)))=sqrt(П*G*R^3*p/3)
Таким образом Vпл./Vз.=sqrt(П*G*R^2*p/3)/sqrt(4П*G*R^2*p/3)=1/2, т.е первая космическая скорость планеты будет в 2 раза меньше первой космической скорости земли.

Answer 2

Для определения отношения первой космической скорости на планете к первой космической скорости на Земле, нам понадобится использовать формулу для первой космической скорости:

V = √(2GM/R)

где: - V - первая космическая скорость - G - гравитационная постоянная - M - масса планеты - R - радиус планеты

Из условия задачи нам дано, что средняя плотность планеты равна средней плотности Земли, а радиус планеты в два раза больше земного радиуса.

Мы можем использовать это, чтобы выразить массу планеты через массу Земли и радиус планеты:

Mп = (4/3)πRп³ρз

где: - Mп - масса планеты - Rп - радиус планеты - ρз - средняя плотность Земли

Также нам известно, что радиус планеты в два раза больше земного радиуса:

Rп = 2Rз

Подставляя это в формулу для массы планеты, получаем:

Mп = (4/3)π(2Rз)³ρз = (4/3)π(8Rз³)ρз = (32/3)πRз³ρз

Теперь мы можем использовать это выражение для массы планеты, чтобы найти отношение первой космической скорости на планете к первой космической скорости на Земле.

Подставляя выражение для массы планеты в формулу для первой космической скорости, получаем:

Vп/Vз = √((2G(32/3)πRз³ρз)/(2GMз/Rз))

Упрощая выражение, получаем:

Vп/Vз = √((32πRз³ρз)/(3Mз))

Теперь у нас есть выражение для отношения первой космической скорости на планете к первой космической скорости на Земле в зависимости от радиуса Земли (Rз) и средней плотности Земли (ρз).