Question

Подсчитайте относительное изменение объема в процентах при растяжении на 4 % образца сплава золота. Коэффициент Пуассона для сплава примите равным 0,42.

Answer 1

Ответ:

Относительное изменение объема будет равно 0.64%.

Объяснение:

Так как сплав золота растягивается, происходит процесс деформации при которой длина сплава увеличивается, а диаметр уменьшается.

Предположим, что образец имеет цилиндрическую форму

Исходная длина образца - $L_{0}$

Исходный диаметр образца - $d_{0}$

Последний диаметр - $d_{t}$

Последняя длина образца - $L_{t}$

Изменение в длине - $\Delta L = L_{t} -L_{0}$

Изменение в диаметре - $\Delta d = d_{t} - d_{0}$

$L_{t} > L_{0}$

$d_{t} < d_{0}$

Кэффициент Пуассона показывает отношение между поперечной деформацией (изменение диаметра) и продольной деформацией.

Формула коэффициента Пуассона:

 $\mu=-\frac{\frac{d_{t}-d_{0} }{d_{0}}}{\frac{L_{t}-L_{0} }{L_{0}}}$.                                                         {1}

Эту формулу можно преобразовать в:

$\frac{\Delta d}{d_{0}} = -$ $\mu *\frac{\Delta L}{L_{0}}$                                          {2}

Объем цилиндра:

$V=\frac{\pi d^2}{4}*L$                                                          {3}

Если мы возьмем логарифм с двух сторон функции {3} с основанием е:

$lnV=ln\pi +2lnd-ln4+lnL$          

Теперь нужно взять полный дифференциал этой функции и выйдет:

$\frac{\Delta V}{V} = 2\frac{\Delta d}{d} +\frac{\Delta L}{L}$                                {4}

Соединив формулы {2} и {4}, мы получим:

$\frac{\Delta V}{V} = -2$ $\mu *\frac{\Delta L}{L_{0}} + \frac{\Delta L}{L_{0}}$

$\frac{\Delta V}{V} =$ $(1-2\mu )*\frac{\Delta L}{L_{0}}$

$\frac{\Delta L}{L_{0}} = \epsilon_{L}$

$\frac{\Delta V}{V} =(1-2\mu)*\epsilon_{L}$

$\frac{\Delta V}{V} =(1-2*0.42)*0.04*100=0.64$

Answer 2

Относительное изменение объема при растяжении материала можно выразить через коэффициент Пуассона и изменение длины (или деформацию) в данной оси. Коэффициент Пуассона характеризует связь между продольной и поперечной деформациями в материале при растяжении.

Формула для относительного изменения объема (\(\Delta V/V\)) при растяжении материала:

\[\frac{\Delta V}{V} = -3 \cdot \alpha \cdot \varepsilon\]

где: - \(\alpha\) - коэффициент Пуассона, - \(\varepsilon\) - продольная деформация.

Изменение длины (\(\varepsilon\)) материала при растяжении связано с процентным изменением длины (\(\Delta L/L\)) следующим образом:

\[\varepsilon = \frac{\Delta L}{L}\]

При растяжении на 4% (\(\Delta L/L = 0.04\)) изменение длины равно 0,04. Теперь можно найти относительное изменение объема.

Для решения задачи необходимо знать значение коэффициента Пуассона (\(\alpha\)), которое равно 0,42.

Подставим известные значения в формулу:

\[\frac{\Delta V}{V} = -3 \cdot 0,42 \cdot 0,04\] \[\frac{\Delta V}{V} = -0,504\]

Таким образом, относительное изменение объема при растяжении на 4% для этого сплава золота составляет -0,504 или -50,4%. Отрицательный знак говорит о том, что объем уменьшится при растяжении.